Question

设函数f(x)=2分之一减去2的x次方加1分之一(1)证明函数f(x)是奇函数(2)证明函数f(x)在(负无穷到正无穷)内

是增函数（3）求函数f（x）在1到2 闭区间上的值域

Answer 1

(1)f(X)=1/2-1/(2^x+1)
=(2^x-1)/[2(2^x+1)]
所以f(-X)= (2^(-x)-1)/[2(2^(-x)+1)]……分子分母同乘以2^x可得下式
=(1-2^x)/[2(1+2^x)]=-f(x),
所以函数是奇函数。

(2)任取x1<x2∈R
f(x1)-f(x2)
=1/2-1/(2^x1+1)-(1/2-1/(2^x2+1))
=1/(2^x2+1)-1/(2^x1+1)
=((2^x1+1)-(2^x2+1))/((2^x1+1)(2^x2+1))
=(2^x1-2^x2)/((2^x1+1)(2^x2+1))

因为(2^x1+1)(2^x2+1)>0,2^x1-2^x2<0
所以f(x1)-f(x2)<0,函数在(-∞，+∞)内递增
(3)
因为函数在(-∞，+∞)内递增，所以在[1,2]上递增。
f(X)=1/2-1/(2^x+1)
f(1)=1/2-1/(2^1+1)=1/6,
f(2)=1/2-1/(2^2+1)=3/10.
函数f（x）在[1,2]上的值域是[1/6,3/10].

Answer 2

（1）
f(x)=(1/2)-[1/(2^x+1)]
则，f(-x)=(1/2)-[1/2^(-x)+1]
=(1/2)-[2^x/(2^x+1)]【分子分母同乘以2^x】
=(1/2)-[(2^x+1)-1]/(2^x+1)
=(1/2)-[1-1/(2^x+1)]
=(-1/2)+[1/(2^x+1)]
=-[(1/2)-1/(2^x+1)]
=-f(x)
所以，f(x)为奇函数

（2）
令x1＜x2
则，f(x1)-f(x2)=1/(2^x2+1)-1/(2^x1+1)
=(2^x1-2^x2)/[(2^x1+1)*(2^x2+1)]
因为x1＜x2，则0＜2^x1＜2^x2
所以，f(x1)-f(x2)＜0
即，f(x1)＜f(x2)
即，f(x)为R上的增函数

（3）
由(2)知，f(x)在R上为增函数
所以：当x∈[1,2]时，值域为[f(1),f(2)]
其中：
f(1)=(1/2)-(1/3)=1/6
f(2)=(1/2)-(1/5)=3/10
即，当x∈[1,2]时，f(x)∈[1/6,3/10]

Answer 3