Question

如图，在∠EAF的平分线上去点B做BC⊥AF于点C，在直线AC上取一动点P，顺时针做∠PBQ=2∠ABC，

另一边交AE于点Q
求证：AQ+AP=2AC

Answer 1

延长AC至D，使CD=AC

BC⊥AF  CD=AC

有 AB=BD  AD=2AC(AC=CD)  ∠ABC=∠DBC  ∠BAD=∠BDA

 

∠ABC=∠DBC    有∠ABD=2∠ABC

∠PBQ=2∠ABC  有∠ABD=∠PBQ

∠ABD-∠ABP=∠PBQ  -∠ABP   即∠QBA=∠PBD

 

AB平分∠EAF  有 ∠QAB=∠BAD

而 ∠BAD=∠BDA

所以 ∠QAB=∠BDA

 

∠QAB=∠BDA   AB=BD   ∠QBA=∠PBD

△QAB≌△PDB 得 QA=PD

PD+AP=AD=2AC

所以

QA+AP=AD=2AC

Answer 2

过B点向AF作一条射线，交AF于点G，使角ABC等于角GBC
因为角QBP=2倍角ABC，所以角QBP等于角ABG；又：它们之间有一公共角ABP，所以角QBA=角PBG；又：BC垂直于AG，BC平分角ABG，所以三角形ABG为等腰三角形，BA=BG，AC=CG，角BAC=角BGC，又：角BAQ=角BAC，所以角BAQ=角BGP；因为角BAQ=角BGP，AB=GB，角QBA=角PBG，所以三角形QBA全等于三角形PBG（ASA），所以QA=PG，所以QA+AP=PG+AP=AG=2AC