Question

老师您好，我复习时遇到一个问题，是关于线性代数的题，麻烦您接到一下，不胜感激！

就是A为m*n的矩阵，A的秩为m，并已知m＜n,现在要证明A的转置乘以A后的秩与A的秩相同。
我觉得，如果要相同那我必定先要证明A的转置是可逆的，只有这样，A与其相乘后秩才不变，而可逆又可以通过行列式不为零来证明，可是A的转置不是方阵，我们老师说不是方阵的就没有行列式可算，然后我就不明白到底该怎么证明了。麻烦老师解答了

Answer 1

你犯了一个错误，A乘以可逆阵不会改变秩，但是如果AB的秩和A相同并不能推出B是可逆的，随便举个反例就能说明这一点，这题目一般是用A'AX=0与AX=0的解空间相同来证明，我是学生不是老师啊啊啊

追问

谢谢你的回答，但你知道如何证明R(A‘A)=R（A）吗？我就是这里不明白，已知的条件就是A为m*n,且m＜n。
PS:这个并不是一个题目，只是答案里面一个解释，我没有看懂答案而已。没有你说的那么复杂。

追答

证明方法不是说了额。。。。。。。。证明A'AX=0与AX=0的解空间相同，你觉得复杂可能是还没学到齐次线性方程组那部分吧？你也可以直接用化成标准型的方法来证明额，特点就是r(A)=r(A'),然后按照普通的两个矩阵AB相乘的方法来证明，你写一写就明白的。。二楼给的证明方法就是解空间的方法，大部分都是这么证明的，比较简洁，我补充一点最后 ：(Ax)'(Ax)=0，所以Ax=0，这的是因为，假设AX != 0,可设AX = (a1,a2,....am),必然有一个ai !=0，而(Ax)'(Ax) = a1的平方+a2的平方+...am的平方> 0（因为至少有ai != 0）这样得到矛盾，所以AX =0，最好把最后的这点写上，另外最好把这个结论记住，还有其他很多常用的结论也要记住额。。。

Answer 2

证明方程组A'Ax=0与AX=0同解。
首先，Ax=0的解都是A'Ax=0的解。
其次，如果x是A'Ax=0的解，两边左乘以x'，得x'A'Ax=0，(Ax)'(Ax)=0，所以Ax=0。所以A'Ax=0的解也是Ax=0的解。

两个方程组同解，基础解系相同，所以n-R(A'A)=n-R(A)，所以R(A'A)=R(A)。