Question

一道高中数学，数列和函数综合

已知函数f(x)=x/(x^2-x+1),对一切正整数n，数列{an}定义如下:a1=1/2,且an+1=f(an)，前n项和为Sn.
（1）求函数f(x)的单调区间，并求值域：（答案：增（0,2）减（-∞,0）和（2，+∞） 值域[0,4/3]）
（2）证明：{x|f(x)=x}={x|f(f(x))=x}
（3）对一切正整数n，证明：①an+1<an②Sn<1
求 （1）（2）（3）答案特别是详细过程（第一题答案已给，求过程）
好像是2013江苏的模拟题，不过具体网上没找到答案。

Answer 1

1. 这个你会做，直接求导

2. x/(x^2-x+1)=x  解出(x^2-x+1)=1 即x=0或1

   同样右边的方程，f(x)=0或1，则x^2-x+1)=1  x^2-x+1=0

   则x也等于0或1，所以两个集合相同

3. 
   

追问

第2问右边怎么解？

追答

我开始的时候看错了，注意，我只会带入法硬解。

追问

辛苦了。

追答

我开始的时候看错了，注意，我只会带入法硬解。

第一问用判别式法球值域，因为定义域为R，令y=x/x^2-x+1

乘过来得到，yx^2-(y+1)x+y=0

所以由Δ≥0.（y+1）^2-4y^2≥0  得到3y2-2y-1≤0  所以值域为[-1/3,1]

1. 第三问可以试试看，这种题多为压轴题

2. 你的问题打错了，an+1 〉an  证明如下

3. an+1-an=an^2(1-an)/an^2-an+1

4. 而由第一问值域  [-1/3,1]      可知，1-an〉0，所以an+1-an〉0

5. 那么这道题sn<1是不可能成立的，我的智商知道这水平，高考都过去两个月了，什么题都不会做了，今年湖南高考数学又超难，哎，数学考砸了，天啊，不过总分还是上了620，万幸。。。。。
   

Answer 2

不知道，你是不是把题写错了，还是他的答案错了。。第一问 增区间(-1,1) 减：（-∞,-1），（1，+∞）

追问

我也是你这么个答案，所以我想知道我哪错了。

追答

那肯定是答案错了，模拟题 很有可能是打印出版错误，你看到的不是正确的原题。

追问

行，那后面怎么做~

追答

+wo：琪琪九三九一起溜溜

Answer 3

f(x) 没有定义域吗？

追问

∈R

追答

值域就是求最值。解出了±1两个驻点，经检验也是极值点，又因为X趋于正负无穷时函数值趋于零，那么把±1带进去就是值域。或者用高中的方法如图

追问

我也是这么做的~不过和答案不一样。所以我不管了。辛苦你了。