Question

已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=2an+(-1)^n,n≥1,求数列{an}的通项公式

由已知得：an=Sn-Sn-1=2an+（-1）n-2an-1-（-1）n-1
化简得：an=2an-1+2（-1）n-1

然后上式怎么化为：2/3[2^n-2 +（-1）^n-1 ]
2/3怎么来的

Answer 1

an-2/3(-1)^(n-1)=2a(n-1)+4/3(-1)^(n-1)

an+2/3(-1)^n=2(a(n-1)+2/3(-1)^(n-1))
所以{an+2/3(-1)^n}是等比数列，公比为2

又a1=S1=2a1-1
得a1=1,a1-2/3=1/3
所以an+2/3(-1)^n=1/3*2^(n-1)
an=1/3*2^(n-1)-2/3(-1)^n
=2/3[2^(n-2)+(-1)^(n-1)]

追问

我只是想知道这步an-2/3(-1)^(n-1)=2a(n-1)+4/3(-1)^(n-1)怎么来的

追答

待定系数法，假设
an+λ(-1)^n=2[a(n-1)+λ(-1)^(n-1)]
得到an=2a(n-1)+3λ(-1)^(n-1)

追问

请您帮我把
an=2an-1+2（-1）n-1
到
2/3[2^n-2 +（-1）^n-1 ]的过程详细做一下，我再追加你10分

追答

待定系数法，假设
an+λ(-1)^n=2[a(n-1)+λ(-1)^(n-1)]
得到an=2a(n-1)+3λ(-1)^(n-1)
对比系数，得到λ=2/3

所以an+2/3(-1)^n=2(a(n-1)+2/3(-1)^(n-1))

所以{an+2/3(-1)^n}是等比数列，公比为2

又a1=S1=2a1-1
得a1=1,a1-2/3=1/3
所以an+2/3(-1)^n=1/3*2^(n-1)
an=1/3*2^(n-1)-2/3(-1)^n
=2/3[2^(n-2)+(-1)^(n-1)]