Question

设函数f(x)=x2+aln(1+x)有两个极值点x1,x2,且x1<x2求a的取值范围，并讨论f(x)的单调性

Answer 1

解：（I）f′(x)＝2x+
a
1+x
＝
2x2+2x+a
1+x
(x＞−1)
令g（x）=2x2+2x+a，其对称轴为x＝−
1
2
．
由题意知x1、x2是方程g（x）=0的两个均大于-1的不相等的实根，
其充要条件为
△＝4−8a＞0
g(−1)＝a＞0
，得0＜a＜
1
2

（1）当x∈（-1，x1）时，f'（x）＞0，∴f（x）在（-1，x1）内为增函数；
（2）当x∈（x1，x2）时，f'（x）＜0，∴f（x）在（x1，x2）内为减函数；
（3）当x∈（x2，+∞）时，f'（x）＞0，∴f（x）在（x2，+∞）内为增函数；
（II）由（I）g（0）=a＞0，∴−
1
2
＜x2＜0，a=-（2x22+2x2）
∴f（x2）=x22+aln（1+x2）=x22-（2x22+2x2）ln（1+x2）
设h(x)＝x2−(2x2+2x)ln(1+x)(x＞−
1
2
)，
则h'（x）=2x-2（2x+1）ln（1+x）-2x=-2（2x+1）ln（1+x）
（1）当x∈(−
1
2
，0)时，h'（x）＞0，∴h（x）在[−
1
2
，0)单调递增；
（2）当x∈（0，+∞）时，h'（x）＜0，h（x）在（0，+∞）单调递减．∴当x∈(−
1
2
，0)时，h(x)＞h(−
1
2
)＝
1−2ln2
4

故f(x2)＝h(x2)＞
1−2In2
4
．

Answer 2

1+x>0，x>-1f'(x)=2x+a/(1+x)=(2x^2+2x+a)/(1+x)令f'(x)=02x^2+2x+a=0x1+x2=-1，x1x2=a/20<(x1+1)(x2+1)=x1x2+x2+x2+1<[(x1+1+x2+1)/2]^20<a/2<1/40<a<1/2x1=-(1+√(1-2a))/2，x2=(-1+√(1-2a))/2当x<x1时，f'(x)>0，f(x)递增当x1<x<x2时，f'(x)<0，f(x)递减当x>x2时，f'(x)>0，f(x)递增所以增区间为(-∝，-(1+√(1-2a))/2)和((-1+√(1-2a))/2，+∝)；减区间为(-(1+√(1-2a))/2，(-1+√(1-2a))/2)

Answer 3

a取值0到1/2。负1到X1增，X1到X2减，X2到正无穷增。X1=(-1-根号1-2a)/2，X2……

Answer 4

x热日发行热线疯道人特意换个地方野人个回复有点太风华个，是我也挺cwref