Question

一道级数求和题，请写出详细过程

Answer 1

将函数x^6傅里叶展开即可，这种偶数p级数求和问题这是通法，6次方结果我没求过，至于2，4，倒是求过，2为π^2/6,4为π^4/90.方法都一样,稍微技巧一点就是利用x^3的Fourier展开式，然后利用Parseval等式。深一点如果分母改为n^(2m)+kπ，这时可以利用复分析的方法解决.
这个问题是属于Riemann Zeta 函数问题甚至Riemann猜想。当然Zeta(2m)和问题现在已经完全解决，并且利用Benulli常数给出了递推关系式，一至于奇数情形，目前最新结果应当是1978年法国数学家Apery证明了Zeta(3)的无理性。

追问

这道题是有具体结果的，答案是(π^6)/945，其实无论偶次、奇次，都跟π有关，都是无理数。

追答

我说了偶数能求出来且有通法。奇数情形是求不出来的，建议你维基一下Riemann猜想。
如果奇数能求出来，那么可以说Riemann猜想就解决了.

最新成果就是Apery的Zeta(3)的无理性，你竟然说得那么肯定。当年Hilbert在世时别人问他500年后复活最想知道的结果是什么，Hilbert回答:"Riemann猜想"

追问

谢谢。
我收集了一些类似的级数，大概有两万多道。
我想知道本题有几种解法。

追答

我只知道这么几种：当年Euler给出一个初等解法，搜一下吧。其次就是利用Fourier展开式（当然包括利用Parseval等式）。还有就是利用积分x/e^x-1，将被积函数展开成级数，主要利用Euler积分的Gamma函数，这个在非赫金哥尔兹的微积分教程中有介绍。还有在数论书中，应该是Hardy也有一种积分的方法，主要利用复分析的解析延拓。

Answer 2

http://wenku.baidu.com/view/552bd578168884868762d631.html
参考一下这篇文章

追问

谢谢。
可是并没有证明，也没有计算过程。
我需要的是计算过程，或证明过程。

追答

你去找找吧，我也是找了半天没有找到，这个还真是没有什么思路，我已经尽最大努力了！