Question

已知函数f(x)=(x^2+1)/(ax+b)是奇函数，且f(1)=2,.(1)求a,b的值 判断该函数在（-无穷，0）上的单调性

已知函数f(x)=(x^2+1)/(ax+b)是奇函数，且f(1)=2,.
(1)求a,b的值
(2) 判断该函数在（-无穷，0）上的单调性

Answer 1

因为函数f(x)=x^2+1/ax+b是奇函数，所以b=0，又f(1)=2，所以a=1
f(x)=x+1/x
f'(x)=1-1/x^2=(x^2-1)/x^2=(x-1)(x+1)/x^2>0的解为-1<x或x>1，在-1<x<1时，f'(x)<0
所以f(x)在(-无穷，-1)上单调递增，在(-1，0)上单调递减
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追问

刚读高一，没学过导数，用高一的只是，怎么解答第二问呢？

追答

f'(x)=1-1/x^2
=(x^2-1)/x^2
=(x-1)(x+1)/x^21
在-1<x<1时，f'(x)<0
所以f(x)在(-无穷，-1)上单调递增，在(-1，0)上单调递减
亲,我没有用导数哦!
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追问

"f'(x)=1-1/x^2"这一步不是求导吗？

追答

设x1<x2, 则f(x1)-f(x2)=(x1-x2)[(x1x2-1)/(x1x2)],
若x1<x2<-1, 则x1-x2<0, x1x2>0,x1x2-1>0, ∴f(x1)-f(x2)<0, 即f(x1)<f(x2), ∴ f(x)在(-∞,-1)上是增函数. 同理可证f(x)在(-1,0)∪(0,1)上是减函数

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追问

我就是不理解分界点怎么知道在-1那呢？

追答

因为是奇函数,
所以f(-x)=-f(x)
f(1)=2
所以,f(-1)=-2
X+1/X=-2
X=-1
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Answer 2

解:(1)因为函数f(x)=(x^2＋1)/(ax＋b)是奇函数,所以f(-x)=-f(x),即[(-x)^2＋1)]/(-ax＋b)=-(x^2＋1)/(ax＋b),所以ax＋b=ax-b,所以b=0,因为f(1)=2,所以2/a=2,所以a=1,所以f(x)=(x^2＋1)/x;(2)因为x^2＋1>0,且x<0,f(x)=(x^2＋1)/x,所以在区间(负无穷大,0)中,x越大f(x)就越大,所以函数f(x)为单调递增。