Question

高等数学中曲面积分的一道考研题

是关于被积函数简化的问题，思路没理清，搞得有点乱了，问题我写在图片里，麻烦各位老师帮忙看一下，先谢谢了

Answer 1

这个需要回归书本上的定义。三重积分 ∫ ∫ ∫ f(x,y,z) dxdydz的物理意义是体积的值。被积函数代表物体密度，dxdydz代表体积微元。很显然一个物体密度与体积是无关的，也许密度函数恰巧与积分区域一样，但是密度函数里的变量只能说明，不同的点处密度不同。因此不能往里带。二重积分类似。
第二类曲面积分则不同，被积函数表示在点（x,y,z)处的流速。流量的定义是单位时间内垂直通过某一面流速的大小。整个曲面积分就正好表示了通过曲面上某一点处流量大小，点在曲面上，就可以往里带。
顺便问一下，这是李永乐的复习全书？你看的好快啊，我才看到求偏导数。

追问

那第一，二类曲线曲面积分也是可以往里代吗？

追答

第一类曲线积分：曲线形构建的质量。被积函数是线密度。随曲线而改变，再说化简完是一元
定积分，三种类型的曲线都可以往里带，使得最终被
积函数只含有一个变量。
第二类曲线积分：变力作功。 被积函数是力函数。在曲线上不同的点处力不同，最终
也是要化简成为一个变量做定积分，也是可以把曲线带进
去的。
第一类曲面积分：曲面质量。
第二类曲面积分：一点处流量。 这两类积分，第一步都是把积分区域
投影。三个方向都可以投，最基本的就是XOY方向。因此
原来被积函数中的三个变量就要变为两个，以此再做
二重积分。因此是可以把其中一个变量用其余两个来
表示，这个桥梁就是根据积分区域来转化。

追问

1，被积函数是线密度。随曲线而改变，再说化简完是一元定积分，三种类型的曲线都可以往里带，使得最终被 积函数只含有一个变量。
“三种类型的曲线”指的是哪三种类型呢？
2，这两类积分，第一步都是把积分区域投影。
这段话没看太懂，“这两类积分”指的是哪两类呢？第一类曲线积分和第一类曲面积分吗？第一、二类曲线积分的被积函数可以用积分曲线方程代进去，这个我理解了，那第一、二类曲面积分呢？

追答

追问

亲，有没有更清晰的版本，看得不太清楚- -

亲，有没有更清晰的版本，看得不太清楚- -

Answer 2

面积分就是在表面上的积分，这题的表面是半球面在上面积分可以有x2+y2+z2=a2；
这题把原来的积分分为两块，即表面的面积分和区域的三重积分，
你说的可以用a代替的是面积分，而不能代替时是因为积分区域变为空间，是3重积分，所以不再满足x2+y2+z2=a2的条件

Answer 3

因为半球面上的点都满足 x^2 + y^2 + z^2 = a ^2啊，这是恒等的

Answer 4

小学生不会。