Question

设函数f(x)=|x-1|+|2x-a|(1),若a=-2,解不等式f(x)≥|x+1|+3

设函数f(x)=|x-1|+|2x-a|(1),若a=-2,解不等式f(x)≥|x+1|+3（2）如果对任意的x∈R，f（x）≥2恒成立，求实数a的取值范围

Answer 1

(1)根据题意可知：
|x-1|+|2x+2|≥|x+1|+3
|x-1|+|x+1|≥3
当x≥1时，x-1+x+1≥3 得x≥3/2
当-1<x<1时,1-x+x+1≥3 无解
当x≤-1时，1-x-1-x≥3 得x≤-3/2
综上所述：当x≥3/2或x≤-3/2时，不等式成立
（2）不等式可化为|x-1|+2|x-m|≥2
若对任意的x∈R，f（x）≥2恒成立，则在数轴上可考虑绝对值的距离定义，有m≥1或≤-2
即a≥2或a≤-4

Answer 2

(1)

a =-2
f(x)=|x-1|+|2x+2|=|x-1|+2|x+1|≥|x+1|+3
|x-1|+|x+1|≥3
1)
I当x<-1时，上式为；
1-x-x-1≥3==>x≤ -3/2
2）
当-1≤x<1时，上式为：
1-x+x+1≥3
2≥3,矛盾！
3）
当1≤x时，上式为：
x-1+x+1≥3==>x≥3/2
综合可知：
x∈(-∞,-3/2]∪[3/2,+∞)
(2)
|x-1|+|2x-a|≥2
函数f(x)=|x-1|+|2x-a|,图像是一个三折线，
两个顶点为：|2-a|,|a/2-1|=(1/2)|a-2|
2≤|x-1|+|2x-a|，恒小就是左边的2比右边的最小值还要小即：
{2≤|2-a|
{2≤(1/2)|a-2|
所以，
|a-2|≥4<=>a-2≥4,或a-2≤-4
a≥6,或a≤-2

Answer 3

（1）f(x)=|x-1|+|2x+2|>=|x+1|+3,
∴|x-1|+|x+1|-3>=0,
用零点分区间法：
{x>=1,2x-3>=0},或{-1<=x<1,-1>=0},或{x<-1,-2x-3>=0},
解得x>=3/2,或x<=-3/2.
(2)f(x)=|x-1|+2|x-a/2|
={3x-1-a,x>=max{1,a/2};
{a-x-1,1<=x<=a/2;
{1+x-a,a/2<=x<=1;
{1+a-3x,x<=min{1,a/2}.
f(x)>=2恒成立,<==>f(a/2)=|a/2-1|>=2,
<==>a/2-1>=2,或a/2-1<=-2,
<==>a>=6或a<=-2.