Question

高中数学三角问题1道，求解析！

设函数f（x）=sinx*（cosx-根号3sinx）
（1）求函数f（x）在[0,π]上的单调递增区间，
（2）若△ABC的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且f（B）=0，a，b，根号3c成公差大于0的等差数列，求sinA/sinC的值

Answer 1

(1)
f(x)=sinxcosx-√3sin²x
=(1/2)sin2x-(√3/2)(1-cox2x)
=(1/2)sin2x+(√3/2)cox2x-√3/2
=sin(2x+π/3)-√3/2
0≤x≤π
π/3≤2x+π/3≤2π+π/3
令2x+π/3=π/2==>x=π/12,为函数的一个最高点；
令2x+π/3=2π/2==>x=7π/12,为函数的一个最低点
单调增区间为：[0,π/12] ; [7π/12,π]
单调减区间为：[π/12 , 7π/12]

(2)
f(x)=sin(2x+π/3)-√3/2
sin(2B+π/3)=√3/2
2B+π/3=4π/3
B=π/2
a+‍√3c=2b
(a+‍√3c)²=4b ²=4a²+4c²
3a²+c²-2√3ac=0
(√3a-c)²=0
√3a-c =0
√3a=c
a/c=√3/3
sinA/sinC=√3/3

追问

f(x)=sin(2x+π/3)-√3/2
sin(2B+π/3)=√3/2
2B+π/3=4π/3（？？？）

第二小题 ∵0＜B＜π
∴π/3＜2B+π/3＜7π/3
∴2B+π/3=2π/3

哪个是对的？

追答

不好意思还是下面的是对的

Answer 2

f(x)=sinx*(cosx-√3sinx)
=sinxcosx-√3sin²x.
=1/2sin2x-√3/2(1-cos2x)
=1/2sin2x+√3/2cos2x-√3/2
=sin(2x+π/3)-√3/2
若0≤x≤π 则 π/3≤2x+π/3≤7π/3
∴π/2≤ 2x+π/3≤3π/2 正弦值递减
∴π/12≤x≤7π/12
∴f(x)在[0,派]上的单调递增区
间是[π/12,7π/12]
2
f(B)=0 ==> sin(2B+π/3)=√3/2
∵2B+π/3∈(π/3,7π/3)
∴2B+π/3=2π/3 ∴B=π/6
∵a,b,√3c成等差数列，公差大于0
∴2b=a+√3c, a<b
∴4b²=a²+3c²+2√3ac （*）
根据余弦定理
b²=a²+c²-2accosπ/6
∴ b²=a²+c²-√3ac 代入（*）
∴4（a²+c²-√3ac )=a²+3c²+2√3ac
∴3a²+c²-6√3ac=0
∴3(a/c)²-6√3(a/c)+1=0
解得：(∵a/c<1)
a/c=(3√3-2√6)/3
∴sinA/sinC=a/c=(3√3-2√6)/3

Answer 3

f(x)=sinxcosx-√3sin^2x=1/2sin2x-√3/2cos2x+√3/2=sin（2x-π/3）+√3/2
剩下的自己算