Question

我有一题不会做，麻烦帮忙解一下，需要有详细的过程，多谢了！

PA、PC分别是△ABC外角∠MAC与∠NCA的平分线，并交于点P，PD⊥BM于点D，PF⊥BN于点F，求证:BP是∠MBN的平分线。

Answer 1

应该是求证 BP是∠DPF的平分线。

根据题意画出如上的图。

作线段PE⊥AC，交AC于E.

在△ADP和△AEP中，∠ADP=∠AEP=90°，∠DAP=∠EAP，AP=AP，

∴△ADP≌△AEP（角、边、角），∴PD=PE。

在△PEC和△PFC中，∠PEC=∠PFC=90°，∠PCE=∠PCF，CP=CP，

∴△PEC≌△PFC（角、边、角），∴PF=PE。

∵PD=PE，PF=PE，∴PD=PF。

在△PDF中，PD=PF，∴∠PDF=∠PFD（等腰三角形两底角相等）∴∠BDF=∠BFD。

在△BDF中，∠BDF=∠BFD，∴BD=BF（两底角相等等三角形两底边相等）

 

在△ADP和△AEP中，∠ADP=∠AEP=90°，∠DAP=∠EAP，AP=AP，

∴△BDP和△BFP中，PD=PE，BD=BF，BP=BP，∴△BDP≌△BFP（边、边、边）

∴∠DBP=∠FBP，∴BP是∠DPF的平分线。

Answer 2

过P作PG⊥AC交AC于G。
∵∠PAM＝∠PAC、PD⊥AM、PG⊥AC，∴由角平分线性质，有：PD＝PG。······①
∵∠PCN＝∠PCA、PF⊥CN、PG⊥CA，∴由角平分线性质，有：PF＝PG。······②
由①、②，得：PD＝PF，∴点P在∠MBN的平分线上，即：BP平分∠MBN。

知识拓展：
三角形一个内角的平分线、另两个外角平分线必相交于一点，以这个点为圆心可作一圆与该内角的对边相切，且与该内角的两边延长线相切。所作出的这个圆叫做三角形的旁切圆。三角形有三个旁切圆。旁切圆的圆心叫做旁心。