Question

求下列有关函数问题的解。

对于函数f(x),若存在实数对（m,n),使得等式 f(m+x)f(m-x)=n对定义域内的每一个x都成立，则称函数f(x)是"(m,n)型函数’‘。

设函数g(x)是"(1,4)型函数’‘，当xE[0,2]时，都有1<=g(x)<=3成立，且当xE[0,1]时，g(x)=x^2-t(x-1)+1 (t>0),试求实数t的取值范围。

Answer 1

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xE[0,1]时，g(x)=x^2-t(x-1)+1，则g(0)=0^2-t(0-1)+1=t+1，g(1)=1^2-t(1-1)+1=2，
g(x)是（1，4）型函数，即g(1+x)g(1-x)=4，
应有g(1+1)×g(1-1)=g(2)*g(0)=4和g(1+0)×g(1-0)=g(1)*g(1)=4
其中：
(a). g(1)*g(1)=2*2=4恒等，t可为任意实数；
(b). g(2)*g(0)=g(2)*(t+1)=4，又1<=g(2)<=3，则4/3<=(t+1)<=4，即1/3<=t<=3；
由于t>0，故由(a)、(b)两式得出1/3<=t<=3