求证(a+b^2+2/a^2)*(a^2+1/b^2+4/a)≥18
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a>0,b>0 求证(a+b^2+2/a^2)*(a^2+1/b^2+4/a)≥18
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比较直接的办法是用Cauchy不等式:
(a+b²+2/a²)(a²+1/b²+4/a)
= (a+b²+2/a²)(4/a+1/b²+a²)
≥ (√(a·4/a)+√(b²·1/b²)+√(2/a²·a²))²
= (2+1+√2)²
= 11+6√2
> 18.
也可以乘开用均值不等式:
(a+b²+2/a²)(a²+1/b²+4/a)
= a³+a/b²+4+a²b²+1+4b²/a+2+2/(a²b²)+8/a³
= 7+(a³+8/a³)+(a²b²+2/(a²b²))+(a/b²+4b²/a)
≥ 7+2·√(a³·8/a³)+2·√(a²b²·2/(a²b²))+2·√(a/b²·4b²/a)
= 7+2√8+2√2+4
= 11+6√2
> 18.
注: 有点巧合的是两种放缩方法中的第一个不等好都可以成立等号的.
原式在a = √2, b = 1/2^(1/4)取得最小值11+6√2.
(a+b²+2/a²)(a²+1/b²+4/a)
= (a+b²+2/a²)(4/a+1/b²+a²)
≥ (√(a·4/a)+√(b²·1/b²)+√(2/a²·a²))²
= (2+1+√2)²
= 11+6√2
> 18.
也可以乘开用均值不等式:
(a+b²+2/a²)(a²+1/b²+4/a)
= a³+a/b²+4+a²b²+1+4b²/a+2+2/(a²b²)+8/a³
= 7+(a³+8/a³)+(a²b²+2/(a²b²))+(a/b²+4b²/a)
≥ 7+2·√(a³·8/a³)+2·√(a²b²·2/(a²b²))+2·√(a/b²·4b²/a)
= 7+2√8+2√2+4
= 11+6√2
> 18.
注: 有点巧合的是两种放缩方法中的第一个不等好都可以成立等号的.
原式在a = √2, b = 1/2^(1/4)取得最小值11+6√2.
更多追问追答
追问
11+6√2.这个答案是比18要大，但是11+6√2到18这一段呢？要证明的是≥18，等号什么时候取到？
追答
原式的最小值就是11+6√2, 所以取不到[18,11+6√2)中的值.
(a+b²+2/a²)(a²+1/b²+4/a) ≥ 18的等号不能成立, 但这不影响其正确性.
证明了(a+b²+2/a²)(a²+1/b²+4/a) ≥ 11+6√2, 自然就有(a+b²+2/a²)(a²+1/b²+4/a) ≥ 18.
另外我又想了一下, 题目本意大概是如下较为粗略的放缩:
(a+b²+2/a²)(a²+1/b²+4/a)
≥ 3·³√(a·b²·2/a²)·3·³√(a²·1/b²·4/a)
= 9·³√8
= 18.
其中两处均值不等式不能同时取得等号,
因此18实际上仍是不能取到的.
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