Question

已知:抛物线y=x²-(m²+5)x+2m²+6

(1)求证:不论m取何值,抛物线与x轴必有两个交点，并且有一个交点是A(2,0）；
(2)设抛物线与x轴的另一个交点为B，AB的长为d，求d与m之间的函数关系式；
（3）设d=10，,P（a，b）为抛物线上一点：
①当△ABP是直角三角形时，求b的值；
②当△ABP是锐角三角形，钝角三角形时，分别写出b的取值范围（第2题不要求写出过程）。

Answer 1

（1）根据判别式 △=（m^2+5）*2-4×1×（2m^2+6）
=（m^2+1)*2＞0
令y=0 分解因式（x-2)(x-m^2-3 )=0
x1=2 x2=m^2+3
所以，不论m取何值，抛物线有一个交点是A（2，0）
（2）点B的坐标为（m^2+3，0）点B始终在点A的右边，所以d=m^2+3-2=m^2+1
∴d与m之间的函数关系式为d=m^2+1
（3）当d=10时，m^2=9,函数关系式y=x^2-14x+24 A(2,0) B(12,0)
当△ABP为直角三角形时，AP*2+BP*2=AB*2
(2-a)*2+b*2+(12-a)*2+b*2=100
a*2-14a+b*2+24=0
又∵点P在抛物线上
a*2-14a+24=b

b*2+b=0
解得b1=-1 b2=0（舍）
当b=-1时，
a*2-14a+24=-1
∴解得x=7±2√6
点P的坐标为（7+2√6 ，-1）或（7-2√6 ，-1）
由图可知当△ABP是锐角三角形时b＜0且b≠-1
当△ABP是钝角三角形时，b＞0