Question

已知a属于R，函数f（x）=（-x^2+ax）e^x （x属于R，e为自然对数的底数）

若f(x)在（-1,1）内单调递增，求a的取值范围
用参数分离的方法做

Answer 1

对f(x)求导，f'(x)=[-x^2+(a-2)x+a]e^x，因为函数在(-1,1)内单调递减，所以f'(x)<0，(-1<x<1)
由于e^x恒大于0，所以-x^2+(a-2)x+a在(-1,1)内小于0
令g(x)=-x^2+(a-2)x+a，
当(a-2)/2<0，即a<2时，g(x)最大值g(-1)=1>0，所以不成立;
当(a-2)/2>=0，即a>=2时，g(x)最大值g(1)=2a-3>0，a>3/2，此时a>=2
所以当a>=2时，g(x)在(-1,1)内小于0，f'(x)=[-x^2+(a-2)x+a]e^x<0，函数单调递减。
可满意？

Answer 2

∵f（x）=（-x^2+ax）e^x
∴f‘（x）=（-x^2+ax-2x+a）e^x
=e^x｛-x^2+a(1+x)-2x｝
又∵ f(x)在（-1,1）内单调递增
∴ 在（-1,1）内， f'(x)>0
即-x^2+a(1+x)-2x>0
a(1+x)>x^2+2x, 1+x>0
∴a>(x^2+2x)/(1+x)
令g(x)=(x^2+2x)/(1+x)
g'(x)=(x^2+2x+2)/(1+x)^2
所以可知
g'(x)>0, 在（-1,1）内
∴g(x)在（-1,1）内单调递增
∴g(x)>g(x)的最大值=g(1)=3/2
又∵a>g(x)
∴a>3/2

Answer 3

追问

定义域是（-1,1），所以2取不到，只能取1