Question

等腰Rt△ABC中∠ACB=90°AC=BC点D是BC边上一点BN⊥AD于N，CM∥BN交AD于M，求证：AM=MN+NB。

Answer 1

证明：过点C做CE⊥BN交BN的延长线于点E, 所以∠CEB = 90°
因 BN⊥AD于N，CM∥BN，
所以，∠CMN = ∠MNE = 90°
所以，四边形CMNE是矩形。
因，∠ACB=90°，∠BND =90°,∠CDA = ∠BDN
所以 ∠CAM = ∠CBE.
因，∠CMA = ∠CEB = 90°，AC=BC
所以，△CMA ≌ △CEB
所以，AM = BE,CM = CE
所以，矩形CMNE是正方形。
所以，MN = NE
所以， AM = BE= BN + NE = BN + MN
即： AM=MN+NB

Answer 2

证明：过点C做CE⊥BN交BN的延长线于点E, 所以∠CEB = 90°
因 BN⊥AD于N，CM∥BN，
所以，∠CMN = ∠MNE = 90°
所以，四边形CMNE是矩形。
因，∠ACB=90°，∠BND =90°,∠CDA = ∠BDN
所以 ∠CAM = ∠CBE.
因，∠CMA = ∠CEB = 90°，AC=BC
所以，△CMA ≌ △CEB
所以，AM = BE,CM = CE
所以，矩形CMNE是正方形。
所以，MN = NE
所以， AM = BE= BN + NE = BN + MN
即： AM=MN+NB
请采纳

Answer 3

证明：在AM上取点E，使EA=NB，连接CE、CN
∵BN⊥AD
∴∠N=90°
在Rt△BDN中，∠CBN+∠BDN=90°
在Rt△ACD中，∠CAE+∠CDA=90°
又∵∠BDN=∠CDA
∴∠CAE=∠CBN
在△AEC和△BNC中
AC=BC，∠CAE=∠CBN，EA=NB
∴△AEC≌△BNC（SAS）
∴CE=CN
又∵CM∥BN，BN⊥AD
∴CM⊥EN
∴∠CME=∠CMN=90°
在Rt△CEM和Rt△CNM中
CE=CN，CM=CM
∴Rt△CEM≌Rt△CNM（HL）
∴ME=MN
又∵AM=ME+EA
∴AM=MN+NB