Question

设向量组a1,a2,a3线性无关, 则下列向量组线性相关的是

(A) a1-a2,a2-a3,a3-a1 (B) a1+a2,a2+a3,a3+a1 (C) a1-2a2,a2-2a3,a3-2a1 (D) a1+2a2,a2+2a3,a3+2a
答案是A 我想问为什么(b1,b2,b3)=(a1,a2,a3)K, K为一3阶方阵 【当detK为0时】，（A)就是线性相关

Answer 1

因为向量组a1,a2,a3线性无关，所以可以知道det（a1,a2,a3）≠0，所以可以知道矩阵（a1,a2,a3）为非奇异矩阵，即矩阵（a1,a2,a3）为可逆矩阵。

因为矩阵（a1,a2,a3）为可逆矩阵，所以会存在（a1,a2,a3）逆，可以令A=（a1,a2,a3）逆，所以有A(b1,b2,b3)=K， K为一3阶方阵 。

令X=(b1,b2,b3)，根据线性方程组可以知道，A为奇异矩阵，则AX=0有无穷解，AX=K有无穷解或者无解，所以K是线性相关的，K可以为AX线性表示。

又因为A可逆，所以X=KA逆，X为KA逆所表示，即X=(b1,b2,b3是线性相关的，前提是detK为0。

扩展资料：

向量线性相关性的性质

1、若向量组所包含向量个数等于分量个数时，判定向量组是否线性相关即是判定这些向量为列组成的行列式是否为零。若行列式为零，则向量组线性相关；否则是线性无关的。

2、一个向量组线性相关，则在相同位置处都去掉一个分量后得到的新向量组仍线性相关。

3、一个向量组线性无关，则在相同位置处都增加一个分量后得到的新向量组仍线性无关。

4、减少向量的个数，不改变向量的无关性。(注意，原本的向量组是线性无关的）

5、增加向量的个数，不改变向量的相关性。(注意，原本的向量组是线性相关的)

6、n+1个n维向量总是线性相关。【个数大于维数必相关】

参考资料来源：百度百科-奇异矩阵

参考资料来源：百度百科-线性相关

Answer 2

这是个常用结论: 若 C=AB, A列满秩, 则 R(C)=R(B)
请参考:
http://zhidao.baidu.com/question/312151263.html