Question

双曲线，椭圆，抛物线的基本公式

Answer 1

双曲线的标准公式为：　　X^2/a^2 - Y^2/b^2 = 1(a>0,b>0)
　　而反比例函数的标准型是 xy = c (c ≠ 0)
　　但是反比例函数确实是双曲线函数经过旋转得到的
　　因为xy = c的对称轴是 y=x, y=-x 而X^2/a^2 - Y^2/b^2 = 1的对称轴是x轴，y轴
　　所以应该旋转45度
　　设旋转的角度为 a （a≠0,顺时针）
　　(a为双曲线渐进线的倾斜角)
　　则有
　　X = xcosa + ysina
　　Y = - xsina + ycosa
　　取 a = π/4
　　则
　　X^2 - Y^2 = (xcos(π/4) + ysin(π/4))^2 -(xsin(π/4) - ycos(π/4))^2
　　= (√2/2 x + √2/2 y)^2 -(√2/2 x - √2/2 y)^2
　　= 4 (√2/2 x) (√2/2 y)
　　= 2xy.
　　而xy=c
　　所以
　　X^2/(2c) - Y^2/(2c) = 1 (c>0)
　　Y^2/(-2c) - X^2/(-2c) = 1 (c<0)
　　由此证得，反比例函数其实就是双曲线函数 椭圆的面积公式
　　S=π(圆周率)×a×b(其中a,b分别是椭圆的长半轴,短半轴的长).
　　或S=π(圆周率)×A×B/4(其中A,B分别是椭圆的长轴,短轴的长).
　　椭圆的周长公式
　　椭圆周长没有公式，有积分式或无限项展开式。
　　椭圆周长(L)的精确计算要用到积分或无穷级数的求和。如
　　L = ∫[0,π/2]4a * sqrt(1-(e*cost)^2)dt≈2π√((a^2+b^2)/2) [椭圆近似周长], 其中a为椭圆长半轴,e为离心率
　　椭圆离心率的定义为椭圆上的点到某焦点的距离和该点到该焦点对应的准线的距离之比，设椭圆上点P到某焦点距离为PF，到对应准线距离为PL，则
　　e=PF/PL
　　椭圆的准线方程
　　x=±a^2/C
　　椭圆的离心率公式
　　e=c/a(e<1,因为2a>2c)
　　椭圆的焦准距 ：椭圆的焦点与其相应准线(如焦点（c,0）与准线x=+a^2/C)的距离,数值=b^2/c
　　椭圆焦半径公式 ｜PF1｜=a+ex0 ｜PF2｜=a-ex0
　　椭圆过右焦点的半径r=a-ex
　　过左焦点的半径r=a+ex
　　椭圆的通径：过焦点的垂直于x轴（或y轴）的直线与椭圆的两焦点A,B之间的距离，数值=2b^2/a
　　点与椭圆位置关系 点M（x0，y0） 椭圆 x^2/a^2+y^2/b^2=1
　　点在圆内： x0^2/a^2+y0^2/b^2＜1
　　点在圆上： x0^2/a^2+y0^2/b^2=1
　　点在圆外： x0^2/a^2+y0^2/b^2＞1
　　直线与椭圆位置关系
　　y=kx+m ①
　　x^2/a^2+y^2/b^2=1 ②
　　由①②可推出x^2/a^2+（kx+m）^2/b^2=1
　　相切△=0
　　相离△＜0无交点
　　相交△＞0 可利用弦长公式：A(x1,y1) B(x2,y2)
　　|AB|=d = √(1+k^2)|x1-x2| = √(1+k^2)(x1-x2)^2 = √(1+1/k^2)|y1-y2| = √(1+1/k^2)(y1-y2)^2
　　椭圆通径（定义：圆锥曲线（除圆外）中，过焦点并垂直于轴的弦）公式：2b^2/a
　　椭圆的斜率公式　过椭圆上x^2/a^2+y^2/b^2上一点（x，y）的切线斜率为b^2*X/a^2y 抛物线的标准方程　　右开口抛物线:y^2=2px
　　左开口抛物线:y^2=-2px
　　上开口抛物线:x^2=2py
　　下开口抛物线:x^2=-2py
　　p为焦准距（p>0） [编辑本段]3.抛物线相关参数(对于向右开口的抛物线) 　　离心率:e=1
　　焦点:(p/2,0)
　　准线方程l:x=-p/2
　　顶点:(0,0)
　　通径(定义：圆锥曲线（除圆外）中，过焦点并垂直于轴的弦)：2P [编辑本段]4.它的解析式求法： 　　以焦点在X轴上为例
　　知道P（x0,y0)
　　令所求为y^2=2px
　　则有y0^2=2px0
　　∴2p=y0^2/x0
　　∴抛物线为y^2=(y0^2/x0)x [编辑本段]5.抛物线的光学性质: 　　经过焦点的光线经抛物线反射后的光线平行抛物线的对称轴。 [编辑本段]6.抛物线的一段的面积和弧长公式 　　 面积 Area=2ab/3
　　弧长 Arc length ABC
　　=√(b^2+16a^2 )/2+b^2/8a ln((4a+√(b^2+16a^2 ))/b) [编辑本段]7.其他 　　抛物线：y = ax^2 + bx + c （a≠0)
　　就是y等于ax 的平方加上 bx再加上 c
　　a > 0时开口向上
　　a < 0时开口向下
　　c = 0时抛物线经过原点
　　b = 0时抛物线对称轴为y轴
　　还有顶点式y = a（x-h）^2 + k
　　就是y等于a乘以（x-h）的平方+k
　　h是顶点坐标的x
　　k是顶点坐标的y 标准形式的抛物线在x0，y0点的切线就是 ：yy0=p(x+x0)
　　一般用于求最大值与最小值
　　抛物线标准方程:y^2=2px
　　它表示抛物线的焦点在x的正半轴上,焦点坐标为(p/2,0) 准线方程为x=-p/2
　　由于抛物线的焦点可在任意半轴,故共有标准方程y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py