Question

大学数学

Answer 1

必要性: 首先, 根据Cauchy收敛准则, 由∫{a,+∞} f(x)dx收敛, 有lim{b → +∞} ∫{b/2,b} f(x)dx = 0.
而∵f(x)单调递减趋于0, ∴∫{b/2,b} f(x)dx ≥ ∫{b/2,b} f(b)dx = b·f(b)/2 ≥ 0,
∴lim{b → +∞} b·f(b) = 0.
于是∫{a,+∞} x·f'(x)dx = lim{b → +∞} ∫{a,b} x·f'(x)dx
= lim{b → +∞} (b·f(b)-a·f(a)-∫{a,b} f(x)dx)
= -a·f(a)+lim{b → +∞} b·f(b) - lim{b → +∞} ∫{a,b} f(x)dx
= -a·f(a)-∫{a,+∞} f(x)dx, 是收敛的.

充分性: 首先由lim{c → +∞} f(c) = 0,
有f(b) = lim{c → +∞} f(b)-f(c) = -lim{c → +∞} ∫{b,c} f'(x)dx = -∫{b,+∞} f'(x)dx.
又∵f(x)单调递减, ∴f'(x) ≤ 0,
∴对b > 0, 有∫{b,+∞} x·f'(x)dx ≤ ∫{b,+∞} b·f'(x)dx = b·∫{b,+∞} f'(x)dx = -b·f(b) ≤ 0.
而∵∫{a,+∞} x·f'(x)dx收敛, ∴lim{b → +∞} ∫{b,+∞} x·f'(x)dx = 0,
∴lim{b → +∞} b·f(b) = 0.
于是∫{a,+∞} f(x)dx = lim{b → +∞} ∫{a,b} f(x)dx
= lim{b → +∞} (b·f(b)-a·f(a)-∫{a,b} x·f'(x)dx)
= -a·f(a)+lim{b → +∞} b·f(b) - lim{b → +∞} ∫{a,b} x·f'(x)dx
= -a·f(a)-∫{a,+∞} x·f'(x)dx, 是收敛的.

Answer 2

　　对任意b∈(a, +∞)，有
　　　　∫[a,b]xf'(x)dx = ∫[a,b]xdf(x) = bf(b) - af(a) - ∫[a,b]f(x)dx，
因此，可知
　　 　　∫[a, +∞)f(x)dx收敛
<==> lim(b→+∞)∫[a,b]f(x)dx 存在
　　<==> lim(b→+∞)∫[a,b]xf'(x)dx 存在，且lim(b→+∞)bf(b)存在
　　<==> ∫[a, +∞)xf'(x)dx收敛，且，且lim(b→+∞)bf(b)存在。
由此看来，你的条件 “b→+∞时f(b)递减趋于0” 似乎不够用。