Question

已知函数f（x）=x+1/x(1)求证:fx在(1,正无穷)上是增函数

(1)求证:f（x）=在(1,正无穷)上是增函数
(2)求f（x）在[1,4]上的最大值，最小值

Answer 1

解：（1）
法一：f'（x）=1-1/x²;，令f‘（x）＞0，得x∈（-∞，-1）∪（1，+∞）。
∴f（x）在（1，+∞）上是增函数。
法二：设1＜x1＜x2。
f（x2）-f（x1）=（x1x2-1）（x2-x1）/x1x2.
∵x2＞x1＞1∴x2-x1＞0，x1x2-1＞0，x1x2＞0.
∴f（x2）-f（x1）＞0.
∴f（x）在（1，+∞）上是增函数。
（2）
f（x）在[1,4]上是增函数。
∴最大值为f（4）=17/4，最小值为f（1）=2.
最小值还可以通过均值不等式x+1/x≥2√（x*1/x）=2（x=1时取最小值）得出。