Question

数学题！！！求助！！！！

试着举几个满足“对定义域内任意实数a, b都有f(ab)=f(a)+f(b) 的函数例子，你能说出这些函数具有哪些共同性质？

我知道共同性质是都是对数函数，但不懂得如何证明，求大神讲解！！！

Answer 1

设f(x)=loga(x)
则f(ab)=loga(ab)=loga(a)+loga(b)
∵f(a)=loga(a) , f(b)=loga(b)
∴f(ab)=f(a)+f(b)

还有特殊的常值函数,如
f(x)=0
f(ab)=0 , f(a)=0 , f(b)=0
则f(ab)=f(a)+f(b)=0

追问

能证明指数函数为什么不符合么？？？？谢谢

追答

设函数为指数函数,
即设f(x)=2^x
则f(a)=2^a , f(b)=2^b
f(ab)=2^ab
若是f(a)•f(b)=2^(ab)=f(ab)则成立
若是f(a)+f(b)=2^(ab)则不成立
这是因为同底数幂不存在这个公式

追问

为什么f(ab)不是等于2^a+b？？？？若是f(a)•f(b)=2^(ab)=f(ab)则成立若是f(a)+f(b)=2^(ab)则不成立是什么意思？？？谢谢

追答

这是根据同底数幂相乘则幂相加,同底数幂相除则幂相减
如 2³ • 2² =2 的5次方 =32
2³ ÷ 2² = 8÷4 = 2的1次方
但是 2³ + 2² = 12 没有定理公式可以计算同底数幂的加法