Question

已知函数f(x)=x的3次方+a乘x的平方+bx，且在x=1处取得极大值。(1)求实数a的取值范围。(2)若方程f(x)=-(...

已知函数f(x)=x的3次方+a乘x的平方+bx，且在x=1处取得极大值。(1)求实数a的取值范围。(2)若方程f(x)=-(2a+3)的平方/9恰好有两个不同的根，求f(x)解析式

Answer 1

f(x)=x³+ax²+bx
f '(x)=3x²+2ax+b
(1)
f(x)在x=1处取极值，所以，
f '(1)=0
3+2a+b=0
由Δ>0==>4a²-4*3b>0
a²>3b=3(-3-2a)=-9+6a
a²-6a+9>0
(a-3)²>0==>a≠3
(2)
方程：f '(x)=0,一根为1，另一根为b/3
函数f(x)的图像是一个大写的N字样，先增后减再增，
方程f(x)= -(2a+3)²/9恰有两根，意思是极大值或极小值为： -(2a+3)²/9
f(1)= -(2a+3)²/9,或f[(-2a-3)/3]= -(2a+3)²/9
而2a+3= -b
f(1)= -b²/9,
1+a+b= -b²/9
a=-(b+3)/2
1-(b+3)/2+b= -b²/9
(b-1)/2= -b²/9
2b²+9b-9=0
f(x)=-(2a+3)的平方/9恰好有两个不同的根,等号后面可能没有负号；

否则运算量太大，如果没有负号，就简单了；

Answer 2

(1)f(x)=x^3+ax^2+bx,f'(x)=3x^2+2ax+b,f'(1)=0，f(1)为极大值知(1,0)为

f'(x)=3x^2+2ax+b与x轴左交点， 右交点为（b/3,0）故b>3.
又由
f'(1)= 3+2a+b=0(1)
　　Δ=4a^2-12b>0(2)
可得
-3b<a<-√3b（住：根号3b<-3）
（2）令F(x)=f(x)+(2a+3)^2 /9=x^3+ax^2+bx+(2a+3)^2 /9
F'(x)=f'(x)=3x^2+2ax+b F'(1)=3+2a+b=0 (3)
F（1）=0或 F（b/3）=0（舍去）
F（1）=1+a+b+(2a+3)^2 /9=0 (4)
算出a=(21-3√65)/8 b=(3√65-33)/4
f(x)=x^3+(21-3√65)/8x^2+(3√65-33)/4x

Answer 3

求导可得f'(x)=3x²+2ax+b
f(1)=2a+b+3=0
△=4a²-12b=4(a²+6a+9)>0
解得a≠-3
∴实数a的取值范围为a≠-3