Question

设x=3是函数f(x)=(x^2+ax+b)e^(3-x) 的一个极值点.求a与b的关系式（用a表示b)，并求f(x)的单调区间

Answer 1

解：（1）函数f(x)=(x^2+ax+b)exp(3-x)，求导，有f'(x)=(2x+a)exp(3-x)-(x^2+ax+b)exp(3-x)= - (x^2 + (a-2)x + b-a)exp(3-x)，由于x=3是一个极值点，所以f'(3)=0，代入可以得到 2a+3+b=0.下面需要对判别式进行讨论，因为不知道会有几个极值点（可能没有极值点的）。判别式 = (a-2)^2 - 4(b-a) = (a+4)^2，所以，当a=-4时，导数的零点只有1个，此时一元二次方程是一个完全平方的形式，导数总是非正的，因此函数在R上单调递减。a不等于-4时才是两个根的情况，设另一个根为x1，则根据根与系数的关系，x1 + 3 = 2-a，于是x1 = -a-1.当a<-4时，x1>3，于是函数的单调增区间为：3<x<-a-1；单调减区间为：x<3，或x>-a-1；当a>-4时，x1<3，于是函数的单调增区间为：-a-1<x<3；单调减区间为：x<-a-1，或x>3；（以上单调区间都可以随便加等号）（2）这问绝对不是最后一个回答者说的那么简单，代一代函数的最值就能轻松看出来解，一定要经过严格的分析和思考才行，因为这里说的是“存在”两点满足条件，不是说对“任意”两点都满足条件，“存在”的范围要比“任意”大得多，有许多种可能的情况。因此我们不妨反过来思考这问。先把不等式写成：g(x2)-1<f(x1)<g(x2)+1，先考虑第一个不等号，要让这个不等号总是“有可能”成立，就意味着函数f在区间[1,4]上的值域必须和(gmin-1,正无穷)有交集，其中gmin为函数g在[1,4]上的最小值。你可以反过来思考这个问题，由于“存在”的对立是说“任意”，也就是说不管x1,x2取什么数值，g(x2)-1>=f(x1)恒成立，这就是在说f(x)的最大值要比gmin - 1还小，反过来就正好是值域要与(gmin-1,正无穷)有交集了。同理，对第二个不等号，就要求函数f在区间[1,4]上的值域必须和(负无穷，gmax+1)有交集，gmax为最大值。现在就开始解范围了。由于a>0，函数f在区间[0,3]上是单调递增的，在(3,4]上是单调递减的，所以函数f的最大值为f(3)=6+a，又由于f(0)=bexp(3)=(-2a-3)exp(3)<0，且f(4)=(16+4a+b)/e=(2a+13)/e>0，所以最小值为f(0)。刚才分析了，第一个不等号要求函数f的最大值要大于gmin-1=g(0)-1=a^2+21/4，即6+a>a^2+21/4，综合a>0，解出 0<a<3/2；第二个不等号要求函数f的最小值要小于gmax+1 = g(4)+1,由于g(4)已经是个正数，而最小值f(0)是负的，所以不等式自然成立。所以，最终的答案是0<a<3/2.问题补充：