Question

问一道高中数学题，关于导数的。找不到答案，求大神。

设函数f（X）=clnx+½x²+bx（b，c∈R，c≠0)，且x=1为f（x）的极值点。
1）若x=1为f(x)的极大值点，求f(x)的单调区间，用c表示。
2）若f(x)=0恰有两解，求实数c的取值范围。 （关键是第二问，给个详细解答。谢谢大家了）

Answer 1

解：（I）求导函数，可得f′(x)=x2+bx+c/x
∵x=l为f（x）的极大值点，∴f′（1）=0
∴f′(x)=(x-1)(x-c)/x，c＞1，b+c+1=0
当0＜x＜1时，f′（x）＞0；当1＜x＜c时，f′（x）＜0；当x＞c时，f′（x）＞0；
∴f（x）的递增区间为（0，1），（c，+∞）；递减区间为（1，c）
（II）①若c＜0，则f（x）在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增，若f（x）=0恰有两解，则f（1）＜0，
∴1/2+b＜0，
∴-1/2＜c＜0
②若0＜c＜1，则f极大（x）=f（c）=clnc+1/2c2+bc，
f极小（x）=f（1）=1/2+b
∵b=-1-c，∴f极大（x）=f（c）=clnc+1/2c2+c(-1-c)＜0，
f极小（x）=f（1）=-1/2-c，从而f（x）=0只有一解；
③若c＞1，则f极小（x）=f（c）=clnc+1/2c2+c(-1-c)＜0，
f极大（x）=f（1）=-1/2-c，从而f（x）=0只有一解；
综上，可知f（x）=0恰有两解时，实数c的取值范围为-1/2＜c＜0
　　

追问

真是太谢谢了。不过如果能把f（c）=clnc+1/2c2+c(-1-c)＜0这个为什么小于零讲清楚就更好了。

Answer 2

﹙1﹚分c大于0小于1和大于1等于1及小于0四种情况，分类即可
﹙2﹚当c大于0小于1时导函数为对勾函数f﹙c﹚等于0成立，增减增第一个极值点为零，则恰有两个零点。
当c等于1时单调增舍弃
当c大于1时f﹙1﹚等于0成立
当c小于0时，由穿针引线法可知0到1单调减1到正无穷单调增，但f﹙1﹚等于0，舍弃
综上c大于零但不等于1
望采纳

追问

你好网友，其实你的第一问有不完善的地方，如果f(1)是极大值，那么c就只可以是大于一的，毕竟求导之后，将“分式”化为一个二次式的时候，因为x>0，则二次式的图像的正负大致可以认为是原本导数的正负。
第二问，其实，你是不是算错了。你的方法很好哦。

追答

我再算算