Question

假设f是x和y的函数，那么f先对x求偏导再对y求偏导和f先对y求偏导和再对x求偏导，这两个结构相同吗？

是结果相同吗？求证明和物理意义

Answer 1

一般情况下相同，所求的都是相同的情况，函数为连续函数。

无论几阶导数，对单一变量导，还是混合导数(mixed partial derivative)，具体的物理意义无法一概而论，必须根据具体情况确定。

对于一元函数有：

对于多元函数，不存在可导的概念，只有偏导数存在。函数在某处可微等价于在该处沿所有方向的方向导数存在，仅仅保证偏导数存在不一定可微，因此有：可微=>偏导数存在=>连续=>可积。

可导与连续的关系：可导必连续，连续不一定可导；

可微与连续的关系：可微与可导是一样的；

可积与连续的关系：可积不一定连续，连续必定可积；

可导与可积的关系：可导一般可积，可积推不出一定可导。

Answer 2

物理意义图表明天补充，今天吃不消了。

追问

谢谢啊，坐等中........

追答

不好意思，让你久等了。

1、偏导数的物理意义：

     通常一阶偏导数的应用占绝对比例，二阶其次，二阶混合偏导明显减少，

     三阶以上更是少之又少。它们的物理意义也是从明显意义变到隐含意义，

     也就是从explicit到implicit，所以写英文论文时，鬼子教授会越来越强调

     make sense。

2、无论几阶导数，对单一变量导，还是混合导数(mixed partial derivative)，

     具体的物理意义无法一概而论，必须根据具体情况确定。要数学教师说

     出它们的物理意义，实在是为难他们了，即使是几何意义也是牵强附会。

下面列举14例，for your reference：

(点击放大，二次点击二次放大)

Answer 3

一般情况下相同，我们大学时老师说我们所求的都是相同的情况，函数为连续函数

追问

能给出证明并说明这种类型偏导的物理意义吗