Question

高一数学题一道，高悬赏求解答！PS：解答步骤尽可能详细一点，谢谢！

已知曲线C:y=ax²+bx+c,其中a>b>c,且a+b+c=0
(1)试证:曲线C与x轴相交于相异两点;
(2)曲线C被x轴截得的线段长为L，试证明:3/2<L<3

Answer 1

1. △=b²-4ac=（a+c）²-4ac=（a-c）²

   又∵a＞c，∴△＞0，即曲线C与x轴相交于相异两点

   
   

2. 设x2＞x1，L²=（x2-x1）²=（x2+x1）²-4x1x2

   根据韦达定理，x1+x2= -b/a ,x1x2=c/a

   L²=b²/a² - 4c/a = (a+c)²/a²-4c/a =（c/a-1)²

   ∵a>b>c,且a+b+c=0，∴a＜0，c＞0,

   ∴L=1- c/a

   ∵|b|<|a|，∴ -c=|c|=|a+b|＜|2a|=2a，即c/a＞-2，∴L＜3

   ∵|b|<|c|，∴ a=|a|=|b+c|＜|2c|= -2c，即c/a＜-1/2，∴L＞3/2

   3/2<L<3得证
   
   

Answer 2

第一小问：因为a+b+c=0，可以变形得到b^2=（a+c）^2，利用判别式，b^2-4ac，由上得，判别式为（a-c）^2，又因为a大于c，所以a-c的平方恒大于零，等价于曲线与x轴恒有两个交点。
第二题 L=根号b^2-4ac ／|a|