Question

数学原命题为真，否命题就一定为假吗

他们的真假命题有直接联系吗

Answer 1

原命题 否命题 逆否命题 矛盾命题关系是：
原命题： A ====> B 即； 如果A成立，则B成立
否命题： A横杠 ====> B横杠 即； 如果A不成立，则B不成立
逆命题： B ====> A 即； 如果B成立，则A成立
逆否命题： B横杠 ====> A横杠 即； 如果B不成立，则A不成立
原命题和逆否命题是等价命题；
逆命题和否命题是等价命题；
等价也称等效．甲、乙两命题等价就是可以互推，可写成甲<=====>乙．
等价命题的特点是真则同真，假则皆假.
原命题和逆否命题的等价性可以用反证法证明于下:
已知:A=====>B．求证:非B=====>非A．
证明。假定非B=====>非A 不正确，
那么，非B=====> A．(排中律)
但是 A=====> B，(已知)．
所以 非B=====> B．(传递性)
这个矛盾(违背了同一律B是B)就证明 非B=====>非A 是正确的．

反之，当逆否命题正确时，同理可证原命题也必正确．由此可知互为逆否关系的两个命题是等价的．

同祥，逆命题和否命题也互为逆否命题，因而也是等价命题．因此，就本质上看，命题只有两种，即(1)和(2)．命题(3)、(4)不过分别是(1)、(2)的否定形式而已．

值得提出的是，当原命题正确时，其逆命题或否命题均 未必 正确，可以都真，可以都假．因此对于两个互逆或互否的命题的正确与否，必须分别予以证明．

我们讨论命题的各种形式及其相互关系和等价性，对于论证数学问题作用很大。当我们证明某个命题有困难盹，可以改证它的逆否命题(等价命题)．这就给命题的证明开辟了一条广阔的道路．要知相关的四个命题的正确与否，只须证明互逆或互否的两个命题就够了．如果一真一假，必定两真两假；如果两真(假)，必定四真(假)．至于选哪两个去证，当然是择其易者而为之了．当我们学习了一个定理或者证明了一个命题为真后，自然地会联想到它的逆命题(或否命题)是否正确?如果证明其也真，就推出了新定理，如果是假，也加深了对原命题的理解．因此，我们应该养成这种推陈出新，提出新问题，甚至发现新定理的良好学习习惯．

一个命题只有一个逆命题吗?
答：假定原命题是“若A则B”，那么逆命题便是“若B则A”．这是指当A和B都只含一条事项时而言的．但当一个命题的条件和结论不止一条时，它的逆命题便不止一个了

Answer 2

不一定，因为原命题与其逆否命题具有同真假性质，所以只能确定逆否命题为真，

不能直接判断出否命题的真假

Answer 3

原命题是真，但不能确定逆命题、否命题一定为假
还是举例说明吧：
设原命题为：三角形的外角和等于360° .是真命题；
逆命题为：外角和等于360°的多边形是三角形。是假命题；
否命题为：一个多边形不是三角形，那么它的外角和不等于360°。 是假命题

设原命题为：线段中垂线上的点到线段两端距离相等。 是真命题
逆命题为：到线段两端点距离相等的点在这线段的中垂线上。 是真命题
否命题为：如果一个点不在线段的中垂线上，那么这个点到线段两端的距离不相等，是真命题。

综上所述，原命题是真，但不能确定逆命题、否命题一定为假