Question

已知函数f(x)=x-2/x+1-alnx，其中a＞0

已知函数f(x)=x-2/x+1-alnx，a＞0⑴讨论f(x)的单调性；
⑵设a=3，求f(x)在区间[1，e^2]上的值域。其中e=2.71828…是自然对数的底数。

Answer 1

（1）f'（x）=1+2/x�0�5-a/x （x>0）
f'（x）=1+2/x�0�5-a/x =（x�0�5-ax+2）/x�0�5
a�0�5-4*2=0时解得a=2√2
所以
①0<a≤2√2时,f'（x）>0,函数在定义域上单调递增
②a>2√2时，x�0�5-ax+2=0有两解，x1，和x2，假设x1<x2(你自己解出来哈)
则在（0，x1）和（x2，+∞）上函数递增，在（x1，x2）上函数递减
（2）a=3时，x�0�5-ax+2=0有两解x1=1，x2=2
所以f（1）=0，f（2）=2-3ln2<0，f（e�0�5）=e�0�5-2/e�0�5-5>0
所以值域为（2-3ln2，e�0�5-2/e�0�5-5）

Answer 2

（1） f'(x)=1+2/x^2-a/x
令f'(x)>0 ,x^2-ax+2>0,当0<a<2^(3/2)时，f(x)在定义域内单调增加，当a大于2倍根号2时
f(x)在（a+根号下a^2-8/2,正无穷大）上单调增加，在（0，a+根号下a^2-8/2）上单调减少
（2）a=3,根据（1）可知f(x)在[1,2]上单调减少，在[2,e^2]上单调增加
f(2)最小，f(2)=2-3ln2,f(1)=0,f(e^2)=e^2-2/e^2-5
所以求f(x)在区间[1，e^2]上的值域为[2-3ln2,e^2-2/e^2-5]

Answer 3

2/（x+1） 还是2/x