Question

三角形数学题

如图，铁路上A,B两点相距25km，C，D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上见一个土特产产品收购站E
①使得C，D两村到E的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？
②使得C，D两村到E站的距离之和最小，则E站应建在离A站多少km处？距离之和最小是多少？

Answer 1

（1）解：∵C、D两村到E站距离相等，∴CE=DE
在Rt△DAE和Rt△CBE中，DE² =AD² +AE² ，CE² =BE² +BC²
∴AD²+AE²=BE²+BC²
设AE为x，则BE=25-x
将BC=10，DA=15代入关系式为x²+15²=(25-x)²+10²，
整理得，50x=500，
解得x=10，
∴E站应建在距A站10km处．
（2）两点之间，直线最短。以B为中心，找C关于AB的对称点C‘，则，BC’ =BC= 10，
连接DC'，DC'与AB的交点即所求E点，延长DA10km于F，使DF垂直于C'F于F，构成直角三角形，则DF = 25，C*F = 25
根据三角形相似原理，DA：DF = AE：FC*，即：15：25 = AE：25，所以，AE = 15，所以，E应建在距A15千米处。

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Answer 2

解：∵C、D两村到E站距离相等，∴CE=DE
在Rt△DAE和Rt△CBE中，DE² =AD² +AE² ，CE² =BE² +BC²
∴AD²+AE²=BE²+BC²

设AE为x，则BE=25-x
将BC=10，DA=15代入关系式为x²+15²=(25-x)²+10²，

整理得，50x=500，
解得x=10，
∴E站应建在距A站10km处．

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