Question

1/2^2十1/3^2+1/4^2+…+1/n^2 如何求和

Answer 1

可以根据1/n(n-1)（或者1/(n(n+1))）这个求和，来大致估算这个求和的大小范围；
直接计算在高中阶段完成不了；
有问题请追问！
一)泰勒级数
首先是预备知识:
多项式 f(x) = a0 + a1x + a2x² + ....+ anx^n
由韦达定理，常数项a0=1时，f(x)=0根的倒数和 等于 一次项系数a1的相反数
将sinx按泰勒级数展开: sinx＝x－x^3/3!＋x^5/5!－x^7/7!＋ …
那么 sinx/x＝1－x^2/3!＋x^4/5!－x^6/7!＋ …
令y＝x^2, 有sin√y/√y＝1－y/3!＋y^2/5!－y^3/7!＋ …
由sinx＝0的根为0,±π,±2π,…
知 f(y)=sin√y/√y 的零点为 π²,(2π)²,(3π)²,…
由之前的韦达定理: 1/π²＋1/(2π)²＋(3π)²+…＝1/3!
整理一下: 1/1²+1/2²+1/3²+...=(1/3!)π²=π²/6 ,

追答

可以根据1/n(n-1)（或者1/(n(n+1))）这个求和，来大致估算这个求和的大小范围；
直接计算在高中阶段完成不了；
有问题请追问！
一)泰勒级数
首先是预备知识:
多项式 f(x) = a0 + a1x + a2x² + ....+ anx^n
由韦达定理，常数项a0=1时，f(x)=0根的倒数和 等于 一次项系数a1的相反数
将sinx按泰勒级数展开: sinx＝x－x^3/3!＋x^5/5!－x^7/7!＋ …
那么 sinx/x＝1－x^2/3!＋x^4/5!－x^6/7!＋ …
令y＝x^2, 有sin√y/√y＝1－y/3!＋y^2/5!－y^3/7!＋ …
由sinx＝0的根为0,±π,±2π,…
知 f(y)=sin√y/√y 的零点为 π²,(2π)²,(3π)²,…
由之前的韦达定理: 1/π²＋1/(2π)²＋(3π)²+…＝1/3!
整理一下: 1/1²+1/2²+1/3²+...=(1/3!)π²=π²/6 ,

追问

好吧，有点深奥。谢谢。