Question

已知 a>b>c a+b+c=1 a*a+b*b+c*c=3 证明 -3/2<b+c<1/2

Answer 1

证明：
a+b+c=1, ①
a^2+b^2+c^2=3, ②
①^2 - ②， 有
a(b+c)+ bc = -1
或 a(1-a)+ bc = -1
化简， 得 a^2 -a -(bc+1) = 0
a = {1±√[1+4(bc+1)]}/2

如果 a = {1-√[1+4(bc+1)]}/2 （< 1/2 )
因为 a>b>c，
且 a+b+c=1,
故 a > 1/3
即 {1-√[1+4(bc+1)]}/2
解得 bc < -11/9 < 0
故 b>0 , c<0
从而 1/3 < a < 1/2 , 0< b < 1/3 , c < 0
a+b+c < 1/2 + 1/3 + 0 =5/6 < 1
这与 a+b+c=1 相矛盾， 故a 只有一个解
a = {1+ √[1+4(bc+1)]}/2 > 1/2
从而 b+c=1-a < 1-1/2 = 1/2
即 b+c < 1/2

证毕

其实这个题目我们搞奥赛的时候做过，另外一半类似的方法也可以做。

Answer 2

用反证法，先假设b+c小于等于-3/2，再假设b+c大于等于1/2，两次假设都可推出矛盾。