Question

已知数列{an}的前n项和是Sn,且Sn=2an-n(n∈N*)①证明:数列{an+1}是等比数列,并求

已知数列{an}的前n项和是Sn,且Sn=2an-n(n∈N*)①证明:数列{an+1}是等比数列,并求数列{an}的通项公式，②记bn=an+1/ana(n+1)，求数列{bn}的前n项和

Answer 1

(1)由Sn=2an-n，可知，S[n-1]=2a[n-1]-(n-1)
两式相减，可得an=Sn-S[n-1]=2an-2a[n-1]-1，即，an=2a[n-1]-1，也即，an+1=2(a[n-1]+1)
可知，{an+1}是等比数列
取n=1，可知，S1=a1=2a1-1，知a1=1，即an+1=2*2^(n-1)=2^n，可知an=2^n-1
(2)由(1)知，a[n+1]-an=2^n，而 an+1=2^n，即有an+1=a[n+1]-an
故bn=(a[n+1]-an)/(an×a[n-1])=1/an - 1/a[n+1]
所以{bn}的前n项和，b1+b2+...+bn=1/a1-1/a2+1/a2-1/a3+...+1/a[n-1]-1/an +1/an-1/a[n+1]
=1/a1-1/a[n+1]=1-1/(2^(n+1)-1)

Answer 2

1.
Sn=2an-n,S(n-1)=2a(n-1)-(n-1)
-->S1=2a1-1=a1-->a1=1
-->Sn-S(n-1)=2an-n-[2a(n-1)-(n-1)]=2an-2a(n-1)-1=Sn-S(n-1)=an
-->an=2a(n-1)+1
an=2^2*a(n-2)+2^1+2^0=...=2^(n-1)*a1+2^(n-2)+...+2+1
=2^(n-1)*+2^(n-2)+...+2+1+1-1
an=2^n-1 通项公式
an+1=2^n 是等比数列
2.
bn=an+1/ana(n+1)=2^n//ana(n+1)=[a(n+1)-an]/ana(n+1)=1/an-1/a(n+1)
Tn=(1/a1-1/a2+)+(1/a2-1/a3)+...+1/an-1/a(n+1)
=1/a1-1/a(n+1)
=1-1/[2^(n+1)-1]