已知数列{an}的前n项和是Sn,且Sn=2an-n(n∈N*)①证明:数列{an+1}是等比数列,并求
已知数列{an}的前n项和是Sn,且Sn=2an-n(n∈N*)①证明:数列{an+1}是等比数列,并求数列{an}的通项公式,②记bn=an+1/ana(n+1),求数...
已知数列{an}的前n项和是Sn,且Sn=2an-n(n∈N*)①证明:数列{an+1}是等比数列,并求数列{an}的通项公式,②记bn=an+1/ana(n+1),求数列{bn}的前n项和
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(1)由Sn=2an-n,可知,S[n-1]=2a[n-1]-(n-1)
两式相减,可得an=Sn-S[n-1]=2an-2a[n-1]-1,即,早铅an=2a[n-1]-1,也即,an+1=2(a[n-1]+1)
可知,{an+1}是等比数列
取n=1,可知埋睁好,S1=a1=2a1-1,弯铅知a1=1,即an+1=2*2^(n-1)=2^n,可知an=2^n-1
(2)由(1)知,a[n+1]-an=2^n,而 an+1=2^n,即有an+1=a[n+1]-an
故bn=(a[n+1]-an)/(an×a[n-1])=1/an - 1/a[n+1]
所以{bn}的前n项和,b1+b2+...+bn=1/a1-1/a2+1/a2-1/a3+...+1/a[n-1]-1/an +1/an-1/a[n+1]
=1/a1-1/a[n+1]=1-1/(2^(n+1)-1)
两式相减,可得an=Sn-S[n-1]=2an-2a[n-1]-1,即,早铅an=2a[n-1]-1,也即,an+1=2(a[n-1]+1)
可知,{an+1}是等比数列
取n=1,可知埋睁好,S1=a1=2a1-1,弯铅知a1=1,即an+1=2*2^(n-1)=2^n,可知an=2^n-1
(2)由(1)知,a[n+1]-an=2^n,而 an+1=2^n,即有an+1=a[n+1]-an
故bn=(a[n+1]-an)/(an×a[n-1])=1/an - 1/a[n+1]
所以{bn}的前n项和,b1+b2+...+bn=1/a1-1/a2+1/a2-1/a3+...+1/a[n-1]-1/an +1/an-1/a[n+1]
=1/a1-1/a[n+1]=1-1/(2^(n+1)-1)
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1.
Sn=2an-n,S(n-1)=2a(n-1)-(n-1)
-->S1=2a1-1=a1-->a1=1
-->Sn-S(n-1)=2an-n-[2a(n-1)-(n-1)]=2an-2a(n-1)-1=Sn-S(n-1)=an
-->an=2a(n-1)+1
an=2^2*a(n-2)+2^1+2^0=...=2^(n-1)*a1+2^(n-2)+...+2+1
=2^(n-1)*+2^(n-2)+...+2+1+1-1
an=2^n-1 通项公式
an+1=2^n 是等比数列
2.
bn=an+1/旁芦ana(n+1)=2^n//ana(n+1)=[a(n+1)-an]/ana(n+1)=1/散启誉冲段an-1/a(n+1)
Tn=(1/a1-1/a2+)+(1/a2-1/a3)+...+1/an-1/a(n+1)
=1/a1-1/a(n+1)
=1-1/[2^(n+1)-1]
Sn=2an-n,S(n-1)=2a(n-1)-(n-1)
-->S1=2a1-1=a1-->a1=1
-->Sn-S(n-1)=2an-n-[2a(n-1)-(n-1)]=2an-2a(n-1)-1=Sn-S(n-1)=an
-->an=2a(n-1)+1
an=2^2*a(n-2)+2^1+2^0=...=2^(n-1)*a1+2^(n-2)+...+2+1
=2^(n-1)*+2^(n-2)+...+2+1+1-1
an=2^n-1 通项公式
an+1=2^n 是等比数列
2.
bn=an+1/旁芦ana(n+1)=2^n//ana(n+1)=[a(n+1)-an]/ana(n+1)=1/散启誉冲段an-1/a(n+1)
Tn=(1/a1-1/a2+)+(1/a2-1/a3)+...+1/an-1/a(n+1)
=1/a1-1/a(n+1)
=1-1/[2^(n+1)-1]
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