Question

一道初等数论证明题

证明：12|(n^4+2n^3+11n^2+10n)

Answer 1

因式分解：

n^4+2n^3+11n^2+10n
=n(n+1)[n(n+1)+10]
其中前面的n(n+1)一定是偶数，后面的n(n+1)+10也是偶数+偶数=偶数，所以整个算式肯定能被4整除。下面我们来考察这个算式能否被3整除。

若n=3k，k为整数，则算式含有n的因子，能被3整除；
同理，若n=3k+2，k为整数，算式中的n+1因子也能被3整除；
若n=3k+1，k为整数，则
n(n+1)+10
=(3k+1)(3k+2)+10
=9k^2+9k+12
仍然能被3整除，所以该算式可以被3整除。

综上，既能被4整除，又能被3整除，所以能被12整除。