Question

三角形ABC中内角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量m=（2sinB，负根号3），向量n=（cos2B,2cos^2B/2-1）且m//n

如果b=2求三角形ABC周长的最大值

Answer 1

m∥n，即：2sinB/cos(2B)=-√3/cosB
即：sin(2B)=-√3cos(2B)
即：sin(2B)+√3cos(2B)=2sin(2B+π/3)=0
2B+π/3∈(π/3,7π/3)
故：2B+π/3=π或2π
即：B=π/3或5π/6
B=π/3时，b^2=a^2+c^2-2accosB=a^2+c^2-ac=4
即：a^2+c^2=ac+4≥2ac，即：ac≤4
即：a^2+c^2-ac=(a+c)^2-3ac=4
即：(a+c)^2=3ac+4≤16
即：a+c≤4，即周长最大值：4+2=6
B=5π/6时，b^2=a^2+c^2-2accosB=a^2+c^2+√3ac=4
即：a^2+c^2=4-√3ac≥2ac，即：ac≤4/(2+√3)
即：a^2+c^2+√3ac=(a+c)^2-2ac+√3ac=4
即：(a+c)^2=4+(2-√3)ac≤16(2-√3)=8(4-2√3)
即：a+c≤2√2(√3-1)=2(√6-√2)
即周长最大值：2+2(√6-√2)
故△ABC周长的最大值：6