Question

初等数论问题？？

如图 是华罗庚的数论导引的第五章的一部分内容，我想问其中说的连乘积定理是什么？？详细的内容和证明都说一下

Answer 1

应该是指这个结论:
若a[n] ≥ 0, 则无穷乘积∏(1+a[n])收敛(< +∞), 当且仅当∑a[n]收敛;
若-1 < a[n] ≤ 0, 则无穷乘积∏(1+a[n])收敛(> 0), 当且仅当∑a[n]收敛.

证明很简单, 因为无论∏(1+a[n]), ∑a[n]哪个收敛, 都有lim{n → ∞} a[n] = 0.
于是lim{n → ∞} ln(1+a[n])/a[n] = 1, 即ln(1+a[n])与a[n]是等价无穷小.
且当由a[n]不变号, ln(1+a[n])也不变号.
根据比较判别法, ∑ln(1+a[n])收敛当且仅当∑a[n]收敛.
即∏(1+a[n])收敛当且仅当∑a[n]收敛.

应用于这里, 可以取a[n]为-1/2, -1/3, -1/5,...
得到∏(1-1/p) > 0, 即∏(1-1/p)^(-1) < +∞.