Question

已知数列{an}满足a1=1，a2=3，a（n+1）=4an-3a（n-1）（n属于N*，n＞=2）

（1）证明：数列{a（n+1）-an}是等比数列，并求出{an}的通项公式
（2）设数列{bn}的前n项和为Sn，且对任意n属于N*，有b1/a1+b2/2a2+...+bn/nan=2n+1成立，求Sn
第一小题我做了，an=3^（n-1），主要是第二小题，谢谢！

Answer 1

1.
n≥2时，
a(n+1)=4an-3a(n-1)
a(n+1)-an=3an-3a(n-1)=3[an-a(n-1)]
[a(n+1)-an]/[an-a(n-1)]=3，为定值
a2-a1=3-1=2，数列{a(n+1)-an}是以2为首项，3为公比的等比数列。
a(n+1)-an=2×3^(n-1)=3^n -3^(n-1)
a(n+1)-3^n=an-3^(n-1)
a1-3^0=1-1=0，数列{an -3^(n-1)}是各项均为0的常数数列
an-3^(n-1)=0
an=3^(n-1)
n=1时，a1=1；n=2时，a2=3，均满足通项公式，数列{an}的通项公式为an=3^(n-1)
2.
n=1时，b1/a1=2+1 b1=3a1=3
n≥2时，
b1/a1+b2/(2a2)+...+bn/(nan)=2n+1 (1)
b1/a1+b2/(2a2)+...+b(n-1)/[(n-1)a(n-1)]=2(n-1)+1 (2)
(1)-(2)
bn/(nan)=2n+1-[2(n-1)+1]=2
bn=2nan=2n×3^(n-1)
Sn=b1+b2+...+bn=2×[1×1+2×3+3×3^2+...+n×3^(n-1)]
3Sn=2×[1×3+2×3^2+...+(n-1)×3^(n-1)+n×3^n]
Sn-3Sn=-2Sn=2×[1+3+...+3^(n-1)-n×3^n]=2×[1×(3^n -1)/(3-1)-n×3^n]
Sn=n×3^n -(3^n -1)/(3-1)=[(2n-1)×3^n +1]/2

Answer 2

1. 式b1/a1+b2/2a2+...+bn/nan=2n+1
   

2. 式 b1/a1+b2/2a2+...+b（n-1）/（n-1）a（n-1）=2（n-1）+1=2n-1

1式-2式=bn/nan=2

所以bn=2n*3^（n-1）

所以3式；Sn=b1+b2+...+bn

4式；3Sn=3（b1+b2+...+bn）

4式-3式拆开相减=2Sn=3+（2n-1）*3^n

Sn=【3+（2n-1）*3^n】/2