我来回答你把，虽然之有15分...
先看绳子微元的受力分析图，这是个空间上的受力分析
为了方便画图，我取最右边一小段（红色）的绳子作为微元
受力分析：
紫色：来自球面的支持力，这个力垂直于球面，所以从球心发出
红色： 绳微元的重力
蓝色：身子由于拉升产生的绳内张力，大小由虎克定律决定，和绳子的总长度变化相关
求解分析：
想求弹力常数K，又已经知道绳子的伸长，因此必须知道弹力大小
弹力的大小，由空间力的平衡来求，在弹力这个平面上，也就是顶端圆面上，只有支持力N的分力，而大小位置，因此需要先求出N的大小，N的大小可以通过重力方向上的力学平衡得出，重力已知，因此可以求解
解题步骤：
1，在重力方向列力的平衡，有 mg = Ncosa
m为绳的微元质量，角a的大小可以通过几何关系求出 ：
sin a = 圆截面半径/球半径 = b/R = 二分之根号二
所以 a = 45度，因此 N = mg/cos45 = √2 mg，
N在圆截面上的投影大小为 Nsina =mg
2，在圆截面方向列力的平衡：
设绳微元的张力为F，从顶端俯瞰截面圆，再来个图：
力的平衡给出
2F sinb = N sina = mg
注意m是微元绳子的质量，因此m = (2b/2pi)*M
所以有 F = (b/sinb) Mg/pi
同时，有 F = k Δl = k * 2pi *(b-a) = k*pi*(√2-1)R
于是得到 k = F/[pi*(√2-1)R]，代入 F = (b/sinb) Mg/pi
得到 k = (b/sinb) * Mg/(2*pi平方) / [(√2-1)R]
注意，由于是绳的微元，因此b无穷小
b/sinb 这个表达式在b ->0的时候，极限为1
同时把 带根号的分母有理化，上下同时乘以√2+1)
得到最后的结果
k = Mg/(R*pi平方) * (√2+1)/2
有问题可以来追问~
希望采纳
由题意 设微元质量ΔM
当绳套在球上时
① ΔM=M/(2πb)
由于绳在球上静止所以合外力为0 球对绳（ΔM）的支持力与重力的合力等于 ΔM在该点受到弹力的合力。它们的合力都作用在绳子围成的平面上且方向相反。
设支持力与重力的合力 F
② F=ΔMgb/{√[(R^2)-(b^2)]}
设该点受到弹力F1 （由于在任意一点都会受到两个拉力所以F1不用除以2）
③ F1=F/sinΔθ
Δθ是由一个点，到连线的下一个点之间的夹角。
④ Δθ=2π /（2πb）=1/b
由于Δθ非常小，因此sinΔθ≈Δθ=1/b
由微元法可知，一个个细小的ΔM就是一个小弹簧，当多个弹簧串联时 ，每一个弹簧所受的力是相等的。
由 F1=KX有
⑤
F1=2πK(b-a)=KπR(√2-1)
由①代入②后得到F再代入③得到F1
再由5得K=Mg/[(2π^2)*R*(√2-1)]
化简得K=[Mg(√2+1)]/[(2π^2)*R]
