Question

几道微分中值定理的题目

Answer 1

1. 因为条件只有一点可导, 所以不适用中值定理, 直接用定义证明.
由f(x)在x = 0处可导, 有lim{x → 0} (f(x)-f(0))/x = f'(0).
对任意ε > 0, 存在δ > 0, 使得|x| < δ时恒有|(f(x)-f(0))/x-f'(0)| < ε.
而由a[n] → 0-, b[n] → 0+, 存在N, 使得n > N时成立-δ < a[n] < 0 < b[n] < δ.
此时|(f(b[n])-f(a[n]))/(b[n]-a[n])-f'(0)|
= |(f(b[n])-f(a[n]))-f'(0)(b[n]-a[n])|/(b[n]-a[n])
= |(f(b[n])-f(0)-f'(0)·b[n])-(f(a[n])-f(0)-f'(0)·a[n])|/(b[n]-a[n])
≤ |f(b[n])-f(0)-f'(0)·b[n]|/(b[n]-a[n])+|f(a[n])-f(0)-f'(0)·a[n]|/(b[n]-a[n]) (绝对值不等式)
= |(f(b[n])-f(0))/b[n]-f'(0)|·b[n]/(b[n]-a[n])-|(f(a[n])-f(0))/a[n]-f'(0)|·a[n]/(b[n]-a[n]) (a[n] < 0 < b[n])
< ε·b[n]/(b[n]-a[n])-ε·a[n]/(b[n]-a[n]) (由|a[n]|, |b[n]| < δ)
= ε.
即得lim{n → ∞} (f(b[n])-f(a[n]))/(b[n]-a[n]) = f'(0).

9. 设g(x) = f(x)².
则g(x)在[0,1]连续, 在(0,1)可导, 且g(0) = f(0)² = 0.
又由f(x)在(0,1)不恒为0, 存在c ∈ (0,1)使f(c) ≠ 0, 于是g(c) = f(c)² > 0.
根据Lagrange中值定理, 存在ξ ∈ (0,c)使g'(ξ) = (g(c)-g(0))/(c-0) = g(c)/c > 0.
于是f(ξ)f'(ξ) = g'(ξ)/2 > 0.

13. (1) 不妨设f'(a) > 0, 则有f'(b) > 0.
由lim{x → a+} (f(x)-f(a))/(x-a) = f'(a) > 0, 在a的右邻域内存在c使f(c) > f(a) = 0.
同理, 在b的左邻域内存在d使f(d) < f(b) = 0.
由f(x)连续, 根据介值定理, 在c, d之间存在ξ使得f(ξ) = 0.

(2) 设g(x) = f(x)·e^(-x), 则g(x)在[a,b]连续, 在(a,b)可导, 且g(a) = g(ξ) = g(b) = 0.
由Rolle定理, 存在α ∈ (a,ξ), 使得g'(α) = 0, 即f'(α)·e^(-α)-f(α)·e^(-α) = 0.
而e^(-α) ≠ 0, 故f'(α)-f(α) = 0. 同理, 存在β ∈ (ξ,b)使得f'(β)-f(β) = 0.

再设h(x) = (f'(x)-f(x))·e^x, 则h(x)在[α,β]连续, 在(α,β)可导, 且h(α) = h(β) = 0.
由Rolle定理, 存在η ∈ (α,β), 使得h'(η) = 0.
而h'(x) = (f"(x)-f'(x))·e^x+(f'(x)-f(x))·e^x = (f"(x)-f(x))·e^x,
即得(f"(η)-f(η))·e^η = 0, 又e^η ≠ 0, 故f"(η)-f(η) = 0, 也即f(η) = f"(η).

Answer 2

只会做第9题：反证法，假设（0,1）上任意一点x，使f(x)f'(x)<=0,。因为f(0)=0，且该函数连续，所以在（0,1）内f(x)和f'(x)一定同号，即（0,1）值域在第一象限的话一定递增，在第四象限的话一定递减。所以假设不成立，即原命题成立

追问

这个方法我也会，考试最多给几分