Question

在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若B=π/4,0<A<π/2,且a2+c2=2b2,则tanA=?

求解题过程

Answer 1

由正弦定理得
a/sinA=b/sinB=c/sinC，又a²、b²、c²成等差数列，因此
2sin²B=sin²A+sin²C
1-cos(2B) =[1-cos(2A)]/2 +[1-cos(2C)]/2
cos(2A)+cos(2C)=2cos(2B)=2cos(π/2)=0
和差化积公式
2cos(A+C)cos(A-C)=0
-2cosBcos(A-C)=0
cos(A-C)=0
A-C=π/2(C>0，0<A<π/2，舍去)或A-C=-π/2
C=A+π/2
A=π-B-C=π-π/4-(A+π/2)
2A=π/4
A=π/8
tan(2A)=tan(π/4)=1=2tanA/(1-tan²A)
整理得
tan²A+2tanA=1
(tanA+1)²=2
tanA=-√2-1(0<A<π/2，tanA>0，舍去)或tanA=√2-1
tanA=√2-1

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