Question

高一数学 数列 通项公式

已知数列an的首项a1=根号2, a(n+1)=根号(2+an) 求数列an的通项公式

老师上课给的方法是假设an=2cos(θn) θn∈(0,90°)
那么2cos θ(n+1) =根号(2+2cos(θn)) =2cos(θn/2) 这一步显然是错的吧...半角公式不是这样的？
这样的话后面就算不下去了... 这个设法哪里有误呢？用这个设法应该怎么做下去？谢谢！

Answer 1

试了前面几个，an是单调递增的，而函数cos在区间(0,90°)是递减函数，所以这个假设肯定是错误的

理解错了，θn我以为是相乘，原来是尾标
2cos θ(n+1) =根号(2+2cos(θn)) =2cos(θn/2)这个没有错
所以 θ(n+1)=θn/2， 是等比数列
通项公式θn=θ1（1/2）^(n-1)

所以an=2cos(θ1（1/2）^(n-1)),其中θ1=45度

Answer 2

2+2cos x =2(1+cos x )=2*cos (X/2)^2*2=4cos (X/2)^2 开放后就是你老师的那个结果呀
之所以能这样假设 其实还少了一步证明an存在上界那一步，即要证明an不大于2

Answer 3

半角公式没有错，cosθn=cos(θ1/2Λ(n-1））.利用条件a1=√2，得出θ1，带进去就好了

Answer 4

“网络1对1答疑”，可以解决很多问题，手机也可以答疑。