Question

高一数学立体几何证明题，题目如下：

已知平行四边形ABCD中，AB=6,AD=10，BD=8,E是线段AD的中点，沿BD将△BCD翻折到△BC'D，使得平面BC'D⊥平面ABD。（1）求证：C'D⊥平面ABD（2）求直线BD与平面BEC'所成角的正弦值（3）求二面角D-BE-C的余弦值注意：请用几何证明法解答，勿用空间向量。

Answer 1

（1）证：

∵AB=6,AD=10，BD=8，所以△ABD为直角三角形且全等于△BCD。即CD⊥BD，∴C'D⊥BD

 又△BC'D⊥△ABD且交于BD，由定理（两垂直平面，一平面内直线垂直于他们的交线，则该直线垂直于另一平面）知C'D⊥△ABD

（2）延长BE至F，连接DF，使DF⊥BF，连接C'F

∵C'D⊥△ABD，∴C'D⊥BF则BF⊥△EC'D,

作DG⊥C'F，则BF⊥DG，∴DG⊥△BC'F,即∠DBG为直线BD与平面BEC'所成角。

由△BDF相似于△ABD知，DF/AB=BD/AD,得DF=4.8，BF=6.4

则直角△BC'F中，C'B=10,C'F=1.2√41。

由△C'DG相似于△C'DF知，GD/DF=C'D/C'F,得GD=24/√41.

所以sin∠DBG=GD/BD=3/√41

（3）由DG⊥△BC'F，DF⊥BF，知∠C'FD即为二面角D-BE-C，

由（2）中所述可得，sin∠C'FD=GD/DF=5/√41,则cos∠C'FD=4/√41。

 

答题不易，望采纳，谢谢。