Question

如函数f(x)=x^2+2a|x|+4a^2-3的零点有且只有一个,则a=__

本题等价于方程x^2+2ax+4a^2-3=0有两个相等的非负根。
判别式=0
4a^2-4(4a^2-3)=0
a^2=1
a=1或a=-1

根非负
4a^2-3>=0 a^2>=3/4，a=1或a=-1均满足。
-2a>=0 a<=0，仅当a=-1时满足

a=-1
哪里错了…？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？

Answer 1

显然f(-x)=f(x)
所以是偶函数
若b≠0
且f(b)=0
则f(-b)=0
这样就有两个零点，不合题意
所以如果有一个零点则只有x=0
则f(0)=4a²-3=0
a=±√3/2

a=-√3/2
代入，分x>0和x<0讨论
此时x=±√3，x=0
不合题意

所以只有a=√3/2 而你直接用△来判断是不可以的 那个x加了绝对值 已经不是单纯的二次方程那么简单了

追问

x加了绝对值 就不能用单纯的二次方程来解了吗，为什么？举例说明

追答

你可以把他分为X大于0 小于0 整成一个分段函数 画图象 比如 Y=X²－|x| 写成

Y=X²－X﹙X≧0﹚ 然后你画图像 就会发现 他不再是一个单纯的二次函数
﹛
y=X²＋X(X＜0﹚