Question

线性代数的题目，求帮忙解答

Answer 1

这个题的思路是先证明r（A）>=2,再证r（A）<=2，最后推出r（A）=2

1，先看头2个方程系数，随便选一组系数，比如X1和X2的系数（1,1），其行列式不为零。
4 3
所以，系数矩阵有2阶子式不为零，即r（A）>=2

2，非齐次方程组有3个无关解。我们不妨设a1，a2，a3
有Aa1=b，Aa2=b，Aa3=b
互相减一下，有A（a1-a2）=0，A（a1-a3）=0,这时a1-a2，a1-a3就是系数矩阵的2个解
由于a1，a2，a3无关，所以a1-a2，a1-a3也无关，即系数矩阵最少有2个无关解（a2-a3是否与前2个相关暂无法证明）即r（A）<=n-2=2

然后由夹挤定理r（A）=2

追问

谢谢！就是还有一个地方不明白，至少有2个无关解，为什么可以推出r（A）<=n-2=2 ？

追答

首先你要知道无关解个数和系数矩阵的关系
设系数矩阵A为n阶
无关解个数=n-r（A）
这个你当定理记下来就好，证明很麻烦，做题都不用证

最少2个无关解 =》 n-r（A）>=2

纯手打，没问题的话请给最佳

Answer 2

牙牙，呵呵，非齐次的 AX = b的解是对应的 齐次线性方程组 AX = 0的基础解系 和 AX =b的一个特解,得到AX = 0的解空间是二维，说明4 - R(A) = 2，所以R(A) = 2

Answer 3

由题目已知方程组有三个线性无关的解知 其对应的其次方程组有两个线性无关的解 即其中的两个未知数可由另外的两个未知数来表示 换句话说就是系数矩阵的秩为2