Question

设函数f(x)=ax^3+bx^2+cx+3-a当x=-1时,f(x)取得极大值2，求a的取值范围？

Answer 1

f'(x)=3ax^2+2bx+c
f‘（-1）=0 3a-2b+c=0
f（-1）=2 -a+b-c+3-a=2
-2a+b-c=-1
a-b=-1 b=1+a
-a-c=-2 c=2-a
当a>0 函数为 先增后减再增
所以小根为极大值

要保证-1 为小的那个根
X1+X2=-2b/3a
X1=-1
X2=-2b/3a +1
X2>X1
-2b/3a +1<-1
-2(a+1)/3a<-2
a+1>3a
a<0.5
即 0<a<0.5

当a=0 时， b=1,c=-1 开口向上的二次函数不存在极大值

当a<0 时，则 函数为先减后增再减
要保证-1为大根
X1=-1
X2=-2b/3a+1
X2<X1
-2b/3a+1<-1
(1+a)/3a >1
1+a<3a
a>0.5
无解

综合0<a<0.5

Answer 2

对f(x)求导得，f '(x)=3ax^2+2bx+c,
当x=-1时，f '(x)=0，即3a-2b+c=0 ①
再对f'(x)求导得，f''(x)=6ax+2b，
当x=-1时,f''(x)2＜0，即2b-6a＜0 ②
当x=-1时,f(x)取得极大值2
-2a+b-c+1=0 ③
a+3b=-1
7a+3c-2=0
求得 a＞-0.1