Question

如图，已知正方形ABCD的边长为2，AC与BD交于点O，将正方形ABCD沿对角线BD折起，得到三棱锥A—BCD (1)求

如图，已知正方形ABCD的边长为2，AC与BD交于点O，将正方形ABCD沿对角线BD折起，得到三棱锥A—BCD
(1)求证：平面AOC垂直于平面BCD
(2)若三棱锥A—BCD的体积为3分之根号6，且角AOC是钝角，求AC的长

Answer 1

1、在未折叠前
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，（正方形对角线互相垂直平分），
OB⊥OA，OB⊥OC，
∴〈AOC是二面角A-BD-C的平面角，
AB=2，则BD=2√2，
AO=CO=BD/2=√2，
在△AOC中，AC=2，
根据勾股定理逆定理，
AO^2+CO^2=AC^2=4,
∴△AOC是RT△，
∴〈AOC=90°，
∴AO⊥CO，
∴二面角A-BO-C是直二面角，
即平面ABD⊥平面BCD，
∵AO⊥BD，
∴AO⊥平面BCD，（两平面相垂直，若一平面上一直线垂直交线，则该直线必垂直另一平面）。
2、在平面ACO上，延长CO，作AH⊥CO，垂足H，连结BH，
由前所述，∵OD⊥AO，OD⊥CO，
AO∩CO=O，
∴OD⊥平面ACO，
∵AH∈平面ACO，
∴OD⊥AH，
∵CO∩OD=O，
∴AH⊥BCD，
∴△BCH是△ABC在平面BCD上的投影，
设二面角A-BC-D的平面角为θ，
则S△BCH=S△ABC*cosθ, （1）
由前所述，<AOC是二面角A-BD-C的平面角，
<ACO=<CAO=30°，
∴〈AOC=120°，
AO=CO=√2，
在△AOC中，根据余弦定理，AC=√6，
根据余弦定理，cos<BAC=（AB^2+AC^2-BC^2）/(2*AB*AC)=√6/4，
sin<BAC=√10/4，
S△ABC=(1/2)AB*AC*sin<BAC=√15/2，
在△ACH中，AH=AC/2=√6/2，（RT△30度所对边是斜边的一半），
CH=√3AH=3√2/2，
BO=√2，
S△BCH=CH*BO/2=3/2，
由（1）式，√15/2*cosθ=3/2，
cosθ=√15/5，
sinθ=√10/5，
tanθ=sinθ/cosθ=√6/3。
∴二面角A-BC-D正切值为√6/3.

Answer 2

1）BD⊥OC BD⊥OA ∴BD⊥平面AOC BD∈平面BCD ∴平面AOC⊥平面BCD.
⑵ √6/3＝﹙1/3﹚×﹙2²/2﹚×高， 高＝√6/2
设高是AH, 则OH＝√[﹙√2﹚²-﹙√6/2﹚²] ＝1/√2
HC＝√2-1/√2＝1/√2 ＝OH AC＝OA＝√2 ﹙三合一之逆定理﹚

追问

√6/3=1/3*1*h
√6/3=1/3h
h=√6吧