Question

在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是菱形,AB=2,∠BAD=60°,

（1）求证：BD⊥平面PAC
（2）若PA=AB,求棱锥C-PBD的高
第一问会，求第二问

Answer 1

(1)证明

设AC和BD交于O，
∵PA⊥平面ABCD，BD∈平面ABCD，
∴PA⊥BD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，（菱形对角线互相垂直平分），
∵AO∩PA=A，
∴BD⊥平面PAC

（2）

求的是C到面PBD距离？

作CG⊥PO延长线于G，（右侧是平面图）

∵BD⊥平面PAC

∴BD⊥CG

∵CG⊥PO

∴CG⊥面PBD

∴CG即C到面PBD距离

∵∠BAD=60°

PA=AB=AD

∴BD=AD=AB=2

∴AO=OC=√3

∴PC=√(PA^2+AC^2)=4

PO=√(PA^2+AO^2)=√7

设CG=x(看右图）

PG=√(16-x^2)

OG=√(3-x^2)

OP=√(16-x^2)-√(3-x^2)=√7

解方程

x^2=12/7

CG=x=2√21/7

C到面PBD距离=2√21/7

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