Question

高中三角函数题：化简cosx+cos2x+...+cosnx

Answer 1

cosx+cos2x+cos3x+.+cosnx

=cosx+cos2x+cos3x+.+cosnx

=sin(x/2)*[ cosx+cos2x+cos3x+.+cosnx] / sin(x/2) （ 将sin(x/2) 移入方括号里并化简）

= {sin[x(2n+1)/2] - sin(x/2) }/ [2sin(x/2)]

同角三角函数

（1）平方关系：

sin^2(α)+cos^2(α)=1

tan^2(α)+1=sec^2(α)

cot^2(α)+1=csc^2(α)

（2）积的关系：

sinα=tanα*cosα cosα=cotα*sinα

tanα=sinα*secα cotα=cosα*cscα

secα=tanα*cscα cscα=secα*cotα

Answer 2

   cosx+cos2x+...+cosnx

=1/2[(cosx+cosnx)+(cos2x+cos(n-1)x)+...+(cosnx+cosx)]                              先乘以2后除以2

=[cos(n+1)x/2][cos((n-1)x/2)+cos(((n-3)x/2)+...+cos((n-(2n-1))x/2)               和差化积

=[cos(n+1)x/2/sin(x/2)]*[sin(x/2)*cos((n-1)x/2)+sin(x/2)*cos(((n-3)x/2)+...+sin(x/2)*cos((n-(2n-1))x/2)                                                                                            先乘以sin(x/2)后除以sin(x/2)

=1/2[cos(n+1)x/2/sin(x/2)][sin(nx/2)+sin((2-n)x/2)+sin((n-2)x/2)+sin((4-n)x/2)+...+sin((2-n)x/2)+sin(nx/2)]                                                                                                                  积化和差

={[cos(n+1)x/2]*[sin(n/2)x]}/[sin(x/2)]                                                               整理化简

还有一种方法：

       经过和差化积公式可进一步化简，得到最终结果：{[cos(n+1)x/2]*[sin(n/2)x]}/[sin(x/2)]

       这两种方法用到了积化和差和和差化积公式，只要灵活掌握这两类公式，就好做了。

       以下为主要用到的几个公式：