Question

数学解析几何题型详细分类

Answer 1

【例题解析】
考点1.求参数的值
求参数的值是高考题中的常见题型之一,其解法为从曲线的性质入手,构造方程解之.
例1．若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则的值为（ ）
A． B． C． D．
考查意图: 本题主要考查抛物线、椭圆的标准方程和抛物线、椭圆的基本几何性质.
解答过程：椭圆的右焦点为(2,0)，所以抛物线的焦点为(2,0)，则，故选D.
考点2. 求线段的长
求线段的长也是高考题中的常见题型之一,其解法为从曲线的性质入手,找出点的坐标,利用距离公式解之.
例2．已知抛物线y-x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A、B，则|AB|等于
A.3 B.4 C.3 D.4
考查意图: 本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系和距离公式的应用.
解：设直线的方程为，由，进而可求出的中点，又由在直线上可求出，
∴，由弦长公式可求出．
故选C
例3．如图，把椭圆的长轴
分成等份，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部
分于七个点，是椭圆的一个焦点，
则____________.
考查意图: 本题主要考查椭圆的性质和距离公式的灵活应用.
解答过程：由椭圆的方程知
∴
故填35.
考点3. 曲线的离心率
曲线的离心率是高考题中的热点题型之一,其解法为充分利用:
(1)椭圆的离心率e＝∈(0,1) (e越大则椭圆越扁);
(2) 双曲线的离心率e＝∈(1, ＋∞) (e越大则双曲线开口越大).
结合有关知识来解题.
例4．已知双曲线的离心率为2，焦点是，，则双曲线方程为
A． B． C． D．
考查意图:本题主要考查双曲线的标准方程和双曲线的离心率以及焦点等基本概念.
解答过程： 所以故选(A).
小结: 对双曲线的标准方程和双曲线的离心率以及焦点等基本概念，要注意认真掌握.尤其对双曲线的焦点位置和双曲线标准方程中分母大小关系要认真体会.
例5．已知双曲线,则双曲线右支上的点P到右焦点的距离与点P到右准线的距离之比等于（ ）
A. B. C. 2 D.4
考查意图: 本题主要考查双曲线的性质和离心率e＝∈(1, ＋∞) 的有关知识的应用能力.
解答过程：依题意可知 ．
考点4.求最大(小)值
求最大(小)值, 是高考题中的热点题型之一.其解法为转化为二次函数问题或利用不等式求最大(小)值:特别是,一些题目还需要应用曲线的几何意义来解答.
例6．已知抛物线y2=4x,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，则y12+y22的最小值是 .
考查意图: 本题主要考查直线与抛物线的位置关系，以及利用不等式求最大(小)值的方法.
解:设过点P(4,0)的直线为

故填32.
考点5 圆锥曲线的基本概念和性质
圆锥曲线第一定义中的限制条件、圆锥曲线第二定义的统一性，都是考试的重点内容，要能够熟练运用；常用的解题技巧要熟记于心.
例7．
在平面直角坐标系xOy中,已知圆心在第二象限、半径为2的圆C与直线y=x相切于坐标原点O.椭圆=1与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10.
（1）求圆C的方程；
（2）试探究圆C上是否存在异于原点的点Q，使Q到椭圆右焦点F的距离等于线段OF的长.若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
[考查目的]本小题主要考查直线、椭圆等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力．
[解答过程] (1) 设圆C 的圆心为 (m, n)
则 解得
所求的圆的方程为
(2) 由已知可得 ， ．
椭圆的方程为 , 右焦点为 F( 4, 0) ;
假设存在Q点使,
．
整理得 ， 代入 ．
得: , ．
因此不存在符合题意的Q点.
例8．
如图,曲线G的方程为.以原点为圆心，以
为半径的圆分别与曲线G和y轴的 正半轴相交于 A 与点B.
直线AB 与 x 轴相交于点C.
（Ⅰ）求点 A 的横坐标 a 与点 C 的横坐标c的关系式；
（Ⅱ）设曲线G上点D的横坐标为,求证：直线CD的斜率为定值.
[考查目的]本小题综合考查平面解析几何知识，主要涉及平面直角坐标素中的
两点间距离公式、直线的方程与斜率、抛物线上的点与曲线方程的关系
，考查运算能力与思维能力，综合分析问题的能力.
[解答过程]（I）由题意知，
因为
由于 （1）
由点B（0，t），C（c，0）的坐标知，直线BC的方程为
又因点A在直线BC上，故有
将（1）代入上式，得解得 .
（II）因为，所以直线CD的斜率为
，
所以直线CD的斜率为定值.
例9．已知椭圆，AB是它的一条弦，是弦AB的中点，若以点为焦点，椭圆E的右准线为相应准线的双曲线C和直线AB交于点，若椭圆离心率e和双曲线离心率之间满足，求：
（1）椭圆E的离心率；（2）双曲线C的方程.
解答过程：（1）设A、B坐标分别为，
则，，二式相减得：
，
所以，， 则；
（2）椭圆E的右准线为，双曲线的离心率，
设是双曲线上任一点，则：
，
两端平方且将代入得：或，
当时，双曲线方程为：，不合题意，舍去；
当时，双曲线方程为：，即为所求.
小结：（1）“点差法”是处理弦的中点与斜率问题的常用方法；
（2）求解圆锥曲线时，若有焦点、准线，则通常会用到第二定义.
考点6 利用向量求曲线方程和解决相关问题
利用向量给出题设条件，可以将复杂的题设简单化，便于理解和计算.
典型例题：
例10．双曲线C与椭圆有相同的焦点，直线y=为C的一条渐近线.
(1)求双曲线C的方程；
(2)过点P(0,4)的直线，交双曲线C于A,B两点，交x轴于Q点（Q点与C的顶点不重合）.当，且时，求Q点的坐标.
考查意图: 本题考查利用直线、椭圆、双曲线和平面向量等知识综合解题的能力,以及运用数形结合思想,方程和转化的思想解决问题的能力.
解答过程：（Ⅰ）设双曲线方程为,
由椭圆,求得两焦点为，
对于双曲线，又为双曲线的一条渐近线
解得 ，
双曲线的方程为
（Ⅱ）解法一：
由题意知直线的斜率存在且不等于零.
设的方程：，,则.
,.

在双曲线上， .

同理有：
若则直线过顶点，不合题意.
是二次方程的两根.
,，此时.
所求的坐标为.
解法二：由题意知直线的斜率存在且不等于零
设的方程，，则.
， 分的比为.
由定比分点坐标公式得

下同解法一
解法三：由题意知直线的斜率存在且不等于零
设的方程：，则.
， .
， ，，
又， ,即.
将代入得.
，否则与渐近线平行.
.
.
.
解法四：由题意知直线l得斜率k存在且不等于零，设的方程：，,则
,.
.同理 .
.
即 . （*）
又
消去y得.
当时，则直线l与双曲线得渐近线平行，不合题意，.
由韦达定理有：
代入（*）式得 .
所求Q点的坐标为.
例11．
设动点P到点A(－l，0)和B(1，0)的距离分别为d1和d2，
∠APB＝2θ,且存在常数λ(0＜λ＜1＝,使得d1d2 sin2θ＝λ．
（1）证明：动点P的轨迹C为双曲线，并求出C的方程；
（2）过点B作直线交双曲线C的右支于M、N两点,试确定λ的范围,
使·＝0,其中点O为坐标原点．
[考查目的]本小题主要考查直线、双曲线等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力．
[解答过程]解法1：（1）在中，，即，
，即（常数），
点的轨迹是以为焦点，实轴长的双曲线．
方程为：．
（2）设，
①当垂直于轴时，的方程为，，在双曲线上．
即，因为，所以．
②当不垂直于轴时，设的方程为．
由得：，
由题意知：，所以，．
于是：．
因为，且在双曲线右支上，所以
．
由①②知，．
解法2：（1）同解法1
（2）设，，的中点为．
①当时，，
因为，所以；
②当时，．
又．所以；
由得，由第二定义得
．
所以．
于是由得
因为，所以，又，
解得：．由①②知．
考点7 利用向量处理圆锥曲线中的最值问题
利用向量的数量积构造出等式或函数关系，再利用函数求最值的方法求最值，要比只利用解析几何知识建立等量关系容易.
例12．设椭圆E的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，离心率为，过点的直线交椭圆E于A、B两点，且，求当的面积达到最大值时直线和椭圆E的方程.
解答过程：因为椭圆的离心率为，故可设椭圆方程为，直线方程为，
由得：，设，
则…………①
又，故，即…………②
由①②得：，，
则＝，
当，即时，面积取最大值，
此时，即，
所以，直线方程为，椭圆方程为.
小结：利用向量的数量积构造等量关系要比利用圆锥曲线的性质构造等量关系容易.
例13．已知，，且， 求的最大值和最小值.
解答过程：设，，，
因为，且，
所以，动点P的轨迹是以A、B为焦点，长轴长为6的椭圆，
椭圆方程为，令，
则＝，
当时，取最大值，
当时，取最小值.
小结：利用椭圆的参数方程，可以将复杂的代数运算化为简单的三角运算.
考点8 利用向量处理圆锥曲线中的取值范围问题
解析几何中求变量的范围，一般情况下最终都转化成方程是否有解或转化成求函数的值域问题.
例14．（2006年福建卷） 已知椭圆的左焦点为F，
O为坐标原点.
（I）求过点O、F，并且与椭圆的左准线相切的圆的方程；
（II）设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，
线段AB的垂直平分线与轴交于点G，求点G横坐标的取值范围.
考查意图:本小题主要考查直线、圆、椭圆和不等式等基本知识，考
查平面解析几何的基本方法，考查运算能力和综合解题能力.
解答过程：（I）
圆过点O、F，
圆心M在直线上.
设则圆半径
由得
解得
所求圆的方程为
（II）设直线AB的方程为
代入整理得
直线AB过椭圆的左焦点F，方程有两个不等实根.
记中点
则
的垂直平分线NG的方程为
令得

点G横坐标的取值范围为
例15．已知双曲线C：，B是右顶点，F是右焦点，点A在x轴正半轴上，且满足成等比数列，过F作双曲线C在第一、三象限的渐近线的垂线，垂足为P，
（1）求证：；
（2）若与双曲线C的左、右两支分别相交于点D,E，求双曲线C的离心率e的取值范围.
解答过程：（1）因成等比数列，故，即，
直线：，
由，
故：，
则：，即；
（或，即）
（2）由，
　由得：
（或由）
小结：向量的数量积在构造等量关系中的作用举足轻重，而要运用数量积，必须先恰当地求出各个点的坐标.
例16．已知，，，
（1）求点的轨迹C的方程；
（2）若直线与曲线C交于A、B两点，，且，
试求m的取值范围.
解答过程：（1）＝，
＝，
因，故，
即，
故P点的轨迹方程为.
（2）由得：，
设，A、B的中点为
则，
，，，
即A、B的中点为，
则线段AB的垂直平分线为：，
将的坐标代入，化简得：，
则由得：，解之得或，
又，所以，
故m的取值范围是.
小结：求变量的范围，要注意式子的隐含条件，否则会产生增根现象.
考点9 利用向量处理圆锥曲线中的存在性问题
存在性问题，其一般解法是先假设命题存在，用待定系数法设出所求的曲线方程或点的坐标，再根据合理的推理，若能推出题设中的系数，则存在性成立，否则，不成立.
例17．已知A,B,C是长轴长为4的椭圆上的三点，点A是长轴的一个顶点，BC过椭圆的中心O，且，，
（1）求椭圆的方程；
（2）如果椭圆上的两点P,Q使的平分线垂直于OA，是否总存在实数，使得？请说明理由；
解答过程：（1）以O为原点，OA所在直线为x轴建立
　平面直角坐标系，则，
　设椭圆方程为，不妨设C在x轴上方，
　由椭圆的对称性，，
　又，即为等腰直角三角形，
　由得：，代入椭圆方程得：，
　即，椭圆方程为；
（2）假设总存在实数，使得，即，
　由得，则，
　若设CP：，则CQ：，
　由，
　由得是方程的一个根，
　由韦达定理得：，以代k得，
　故，故，
　即总存在实数，使得.
评注：此题考察了坐标系的建立、待定系数法、椭圆的对称性、向量的垂直、向量的共线及探索性问题的处理方法等，是一道很好的综合题.
考点10 利用向量处理直线与圆锥曲线的关系问题
直线和圆锥曲线的关系问题，一般情况下，是把直线的方程和曲线的方程组成方程组，进一步来判断方程组的解的情况，但要注意判别式的使用和题设中变量的范围.
例18．设G、M分别是的重心和外心，，，且，
（1）求点C的轨迹方程；
（2）是否存在直线m，使m过点并且与点C的轨迹交于P、Q两点，且？若存在，求出直线m的方程；若不存在，请说明理由.
解答过程：（1）设，则，
因为，所以，则，
由M为的外心，则，即，
整理得：；
（2）假设直线m存在，设方程为，
由得：，
设，则，，
＝，
由得：，
即，解之得，
又点在椭圆的内部，直线m过点，
故存在直线m，其方程为.
小结：（1）解答存在性的探索问题，一般思路是先假设命题存在，再推出合理或不合理的结果，然后做出正确的判断；
（2）直线和圆锥曲线的关系问题，一般最终都转化成直线的方程和圆锥曲线的方程所组成的方程组的求解问题.
【专题训练与高考预测】
一、选择题
1．如果双曲线经过点，且它的两条渐近线方程是，那么双曲线方程是（）
A． B． C． D．
2．已知椭圆和双曲线有公共的焦点，那么双曲线的的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
3．已知为椭圆的焦点，M为椭圆上一点，垂直于x轴，
且，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
4．二次曲线，当时，该曲线的离心率e的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
5．直线m的方程为，双曲线C的方程为，若直线m与双曲线C的右支相交于不重合的两点，则实数k的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6．已知圆的方程为，若抛物线过点，，且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点的轨迹方程为（ ）
A. B.
C. D.

二、填空题
7．已知P是以、为焦点的椭圆上一点，若 ，则椭圆的离心率为 ______________ .
8．已知椭圆x2+2y2=12，A是x轴正方向上的一定点，若过点A，斜率为1的直线被椭圆截得的弦长为，点A的坐标是______________ .
9．P是椭圆上的点，是椭圆的左右焦点，设，则k的最大值与最小值之差是______________ .
10．给出下列命题：
①圆关于点对称的圆的方程是；
②双曲线右支上一点P到左准线的距离为18，那么该点到右焦点的距离为；
③顶点在原点，对称轴是坐标轴，且经过点的抛物线方程只能是；
④P、Q是椭圆上的两个动点，O为原点，直线OP,OQ的斜率之积为，则等于定值20 .
把你认为正确的命题的序号填在横线上_________________ .
三、解答题
11．已知两点，，动点P在y轴上的射影为Q，，
（1）求动点P的轨迹E的方程；
（2）设直线m过点A，斜率为k，当时，曲线E的上支上有且仅有一点C到直线m的距离为，试求k的值及此时点C的坐标.

12．如图，，是双曲线C的两焦点，直线是双曲线C的右准线， 是双曲线C的两个顶点，点P是双曲线C右支上异于的一动点，直线、交双曲线C的右准线分别于M,N两点，
（1）求双曲线C的方程；
（2）求证：是定值.

13．已知的面积为S，且，建立如图所示坐标系，
（1）若，，求直线FQ的方程；
（2）设，，若以O为中心，F为焦点的椭圆过点Q，求当取得最小值时的椭圆方程.
14．已知点，点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线PQ上，且满足，，
（1）当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹C；
（2）过点作直线m与轨迹C交于A、B两点，若在x轴上存在一点，使得为等边三角形，求的值.

15．已知椭圆的长、短轴端点分别为A、B，从此椭圆上一点M向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点，向量与是共线向量．
（1）求椭圆的离心率e；
（2）设Q是椭圆上任意一点， 、分别是左、右焦点，求∠ 的取值范围；
16．已知两点M（-1，0），N（1，0）且点P使成公差小于零的等差数列，
（Ⅰ）点P的轨迹是什么曲线？
（Ⅱ）若点P坐标为，为的夹角，求tanθ．

【参考答案】
一. 1．C .提示，设双曲线方程为，将点代入求出即可.
2．D .因为双曲线的焦点在x轴上，故椭圆焦点为，双曲线焦点为，由得，所以，双曲线的渐近线为 .
3．C .设，则，，
.
4.C .曲线为双曲线，且，故选C；或用，来计算.
5．B .将两方程组成方程组，利用判别式及根与系数的关系建立不等式组.
6．B .数形结合，利用梯形中位线和椭圆的定义.
二.7．解：设c为为椭圆半焦距，∵　，∴ .
又 ∴
解得： ． 选D．
8． 解：设A（x0，0）（x0＞0），则直线的方程为y=x-x0，设直线与椭圆相交于P（x1，y1），Q（x2、y2），由 y=x-x0 可得3x2-4x0x+2x02-12=0，
x2+2y2=12
，，则
．
∴，即．
∴x02=4，又x0＞0，∴x0=2，∴A（2，0）．
9．1； .
10．②④.
三. 11．解（1）设动点P的坐标为，则点，，，
，，
因为，所以，
即动点P的轨迹方程为：；
（2）设直线m：，
依题意，点C在与直线m平行，且与m之间的距离为的直线上，
设此直线为，由，即，……①
把代入，整理得：，
则，即，…………②
由①②得：，，
此时，由方程组 .
12．解：（1）依题意得：，，所以，，
所求双曲线C的方程为；
（2）设，，，则，，
，，，，
因为与共线，故，，同理：，
则，，
所以＝＝＝ .
13．解：（1）因为，则，，设，则，
，解得，
由，得，故，
所以，PQ所在直线方程为或；
（2）设，因为，则，
由得：，
又，则，
，，
易知，当时，最小，此时，
设椭圆方程为，则，解得，
所以，椭圆方程为 .
14．解：（1）设，由得：，，
由得：，即，
由点Q在x轴的正半轴上，故，
即动点M的轨迹C是以为顶点，以为焦点的抛物线，除去原点；
（2）设，代入得：
…………①
设，，则是方程①的两个实根，
则，，所以线段AB的中点为，
线段AB的垂直平分线方程为，
令，，得，
因为为正三角形，则点E到直线AB的距离等于，
又＝，
所以，，解得：， .
15．解：（1）∵，∴ .
∵是共线向量，∴，∴b=c,故 .
（2）设

当且仅当时，cosθ=0，∴θ .
16．解：（Ⅰ）记P（x,y），由M（-1，0）N（1，0）得
， .
所以 . ， .
于是， 是公差小于零的等差数列等价于
即 .
所以，点P的轨迹是以原点为圆心，为半径的右半圆.
（Ⅱ）点P的坐标为。 .
因为 0〈，
所以